Расчёт многопролётной статически определимой балки. Определение опорных реакций и построение эпюр Q и М. Построение линий влияния для сечений многопролетной статически определимой балки

Расчёт многопролётной статически определимой балки.

Дано:  q₁=2 кН/м

q₃=2 кН/м

Р₃=6кН

Р₂=2 кН

М₃=8кН*м

Решение:

Определение опорных реакций и построение эпюр Q и М.

1) ∑М₃=0:  q₃*9*4,5-R_D*7=0

R_D= q₃*9*4,5/7=2*9*2.5 / 7=11,571 кН

     ∑М₃=0:  R₃*7-q₃*9*2,5 =0

                    R₃= q₃*9*2,5 / 7=6,429 кН

Сечение 1-1

0≤Х≤2

Q= q₃*Х

Х=0 Q= 0

Х=2 Q= 2*2=4 кН

М= - q₃*Х²/2

Х=0 М= 0

Х=2 М= 2*4 / 2= -4 кН*м

Сечение 2-2

0≤Х≤7

Q=  -q₃*Х+ R₃

Х=0 Q= 6.429 кН

Х=7 Q=  -2*7 + 6,429 = -7,571 кН

М= R₃*Х- q₃*Х²/2

Х=0 М= 0

Х=2 М= 6,429*7-2*49 / 2 = - 4 кН*м

2) ∑М₂=0:  R₃*5 + P₂*4.5 –R_C*4 +М₃ = 0

R_C= (R₃*5 + P₂*4.5 + М₃) / 4 =  (6,429*5+2*4,5+8)/4 = 12,286 кН

    ∑М_С=0:  R₃*1 + P₂*0,5 +М₃ – R₂*4= 0

R₂= (R₃*1 + P₂*0,5 +М₃ ) / 4 = (2*0.5+6.429*1+8) / 4 = 3.857 кН

Сечение 1-1

0≤Х≤4

Q=  - R₂ = - 3,857 кН

М= - R₂ *Х

Х=0 М= 0

Х=4 М= - 3,857*4 = - 15, 428 кН*м

Сечение 2-2

0≤Х≤0,5

Q=  - R₂+R_С = - 3,857 + 12,286 =

=8,429 кН

М= - R₂(Х+4)+R_С*Х

Х=0 М = -3,857*4 = - 15,428 кН*м

Х=0,5 М= - 3,857*4,5 + 12,286*0,5 =

= - 11,213 кН*м

Сечение 3-3

0≤Х≤0,5

Q=  R₃ = 6,429 кН

М= - R₃*Х  - М₃

Х=0 М = -8  кН*м

Х=0,5 М= - 6,429*0,5 - 8 = - 11,213 кН*м

3)  ∑М₁=0:  R_в*6 –R₂*8 = 0

R_В= R₂*8 / 6 = 3,857*8/6 =                                                                                                        =5,143  кН

∑М_В=0:  R₁*6 – P₃*6– R₂*2= 0

R₁= (P₃*6+ R₂*2) / 6 =

= (6*6 + 3,857*2) / 6=

= 7,286 кН

Сечение 1-1

0≤Х≤6

Q=  R₁-Р₃ = 7,286 – 6 = 1,286 кН

М= R₁*Х-Р₃ *Х

Х=0 М = 0

Х=0,5 М= 7,286*6 – 6*6 = 7, 714 кН*м

Сечение 2-2

0≤Х≤2

Q=  - R₂= - 3,857 кН

М= R₂*Х

Х=0 М = 0

Х=2 М= 3,857*2 кН*м

4) ∑М_А=0:  R₁*4+q₁*4*2- М_А=0

М_А= R₁*4+q₁*4*2 = 7,286*4 + 2*4*4 =        =45,144 кН*м

    ∑М₁=0:  R_А*4-q₁*4*2- М_А=0

R_А= (q₁*4*2 + М_А) / 4 = (2*4*2 + 45,144) / 4  = 15,286 кН

Сечение 1-1

0≤Х≤4

Q= R₁+ q₁*Х

Х=0 Q= 7,286 кН

Х=2 Q= 7,286 + 2*4 = 15,286 кН

М= - R₁*Х - q₁*Х² / 2

Х=0 М = 0

Х=4 М= - 7,286*4 – 2*16 / 2 = - 45,144 кН*м

Построение линий влияния для сечений многопролетной статически определимой балки.

Для сечения К.

1) Сила Р находится на (А-1)

а) Линия влияния Q_К.

Правая ветвь линия влияния (сила Р справа от сечения). Рассматриваем равновесие правой части балки

Q_К^ПР = Р = 1 кН

Левая ветвь линии влияния (сила Р слева от сечения). Рассматриваем равновесие правой части балки

Q_К^ПР = 0

б) Линия влияния М_К.

Правая ветвь линия влияния (сила Р справа от сечения). Рассматриваем равновесие правой части балки

0≤Х≤2

М_К^ПР = -Р*Х

Х=0  М_К^ПР = 0

Х=2  М_К^ПР = -2 кН*м

Левая ветвь линии влияния (сила Р слева от сечения). Рассматриваем равновесие правой части балки

М_К^ПР = 0

2) Сила Р=1 находится диске (1-В-2)

Q₁=1 кН

М₁=2 кН*м

Q_В=0

М_В=0

Q₂=1/3 кН

М₂=2/3 кН*м

3) Сила Р=1 находится диске (2-С-3)

Q₂= 1/3 кН

М₂= 2/3 кН*м

Q_С=0

М_С=0

Q₃=1/12 кН

М₃=1/6 кН*м

4) Сила Р=1 находится диске (3-D-4)

Q₃= 1/12 кН

М₃=1/6кН*м

Q_D=0

М_D=0

Q₄= 1/42 кН

М₄=1/21кН*м

Для сечения М.

1)Сила Р находится на диске (2-С-3)

Q_М^ЛЕВ= 1/2 кН     Q_М^ПРАВ= 1/2 кН    

М_М= 1 кН*м

Q₂= 0

М₂= 0

Q_С=0

М_С=0

Q₃=1/4 кН

М₃=1/2 кН*м

2) Сила Р=1 находится диске (3-D-4)

Q₃= 1/4 кН

М₃=1/2кН*м

Q_D=0

М_D=0

Q₄= 1/14 кН

М₄=1/7кН*м

Для реакции R_D

Сила Р=1 находится диске (3-D-4)

Х=7 R_D=1

Х=9 R_D=8/7 кН

Х=0 R_D=0

Определение усилий в сечениях стержневых систем от статической нагрузки по линиям влияния.

Вычисляем по формуле

S = ∑ P_I*y_I + ∑ q_I*ω_I +∑ M_I*tg φ_I

Q_К = P₃*1 + P₂*1/24 + q₁*1*2+ q₂*1/12*7*1/2 - q₂*1/42*2*1/2 + +М₃*1/12*1/1= 6*1 + 2*1/24 + 2*1*2*+ 2*1/12*7*1/2- 2*1/42*2*1/2+8*1/12*1/1= 11,286 кН -                                     - верно

М_К =  -P₃*2 - P₂*1/12 - q₁*2*2*1/2 - q₂*1/6*7*1/2 + q₂*1/21*2*1/2 - М₃*1/6*1/1=

=  - 6*2-2*1/12-2*2*2/2-2*1/6*7*1/2+2*1/21*2*1/2-8*1/6=18,571 кН*м – верно.

Q_М= - P₂*1/8 - q₂*1/4*7*1/2 + q₂*1/4*2*1/2 - М₃*1/2*1/2 = -2*1/8-8*1/4-2*7/8+2*1/4 =-3,85 кН - верно

М_К =  -P₂*1/4 + q₂*1/7*2*1/2 - q₂*1/2*7*1/2 -М₃*1/2*1/1= -2*1/4 + 2*1/7*2*1/2 – 2*1/2*7*1/2 – 8*1/2*1/1 = - 7,714 кН*м – верно

R_D=  q₂*9*9/7*1/2=2*9*9/7*1/2=11,571 кН – верно.