Академия управления
при Президенте Республики Беларусь
 |
Математика для менеджера
Практикум
(Часть I)
Минск 2001
СОДЕРЖАНИЕ
Введение. 3
§ 1. Точки и множества на плоскости и в пространстве. 6
§ 2. Комплексные числa. 9
§ 3. Многочлены и рациональные функции. 13
§ 4. Определители и матрицы.. 18
§ 5. Методы решения систем линейных уравнений. 28
§ 7. Прямая на плоскости. 33
§ 8. Плоскость. 37
§ 9. Кривые второго порядка. 41
§ 10. Преобразование координатной системы.. 48
§ 11. Последовательности. 53
§ 12. Функции. 60
Предлагаемый практикум завершает разработанный на кафедре Информационных технологий управления комплекс учебных пособий «Математика для менеджера».
Этот комплекс содержит:
- лекционные материалы по курсу «Высшая математика» (части I и II);
- методические рекомендации и контрольные работы с примерами для заочного математического образования менеджера-экономиста,
- набор тестов для оценки знаний по курсу «Высшей математики»;
- комплекс лабораторных работ по основам постановки задач менеджмента, их алгоритмизации, программирования и основным методам вычислительной математики для решения задач менеджмента (часть III), в том числе с применением математических пакетов Derive и Maple;
- лекционные материалы и практикум по теории вероятностей и математической статистике (части IV и VI);
- справочник и примеры постановки и решения задач экономики и менеджмента с использованием основных разделов курса «Высшей математики» (часть V).
Конечная цель части VII данного комплекса учебных пособий «Математика для менеджера» – освоение на алгоритмическом уровне на взаимосвязанных примерах возможностей практического применения аппарата отдельных разделов курса «Высшей математики». Последовательное применение практикума должно обеспечить формирование навыков использования математического аппарата и устойчивого алгоритмического и математического мышления у будущего менеджера-экономиста. Составители практикума исходили из того, что навыки математической и алгоритмической постановки экономико-управленческих задач ведут к успешному деловому взаимодействию менеджера-экономиста со специалистами по прикладной математике как основе современной технологии моделирования и решения задач стратегического и оперативного менеджмента.
В этой связи данный практикум построен так, чтобы дать обучаемому краткие сведения по основным разделам курса, достаточные для выполнения операций над различными математическими объектами и показать в комплексе взаимосвязанных задач для самостоятельного решения наиболее важные варианты выполнения операций математической технологии (рис. 1). Подбор комплекса задач и самостоятельных заданий, их решение, как надеются авторы, должны дать будущему менеджеру элементы владения языком описания различных проблемных ситуаций для взаимодействия с прикладными математиками.
В процессе освоения практикума следует применять части I, II, V комплекса учебных пособий «Математика для менеджера» (рис. 2).
Завершив освоение
любого из разделов данного практикума, следует проверить свою готовность к
составлению алгоритма выполнения конкретных математических операций для
конкретного упражнения или задачи. Успешное построение алгоритма может служить
основанием для оценки степени освоения практикума.
1. Изобразить на координатной плоскости точки:
2. Изобразить на числовой прямой
множества чисел 
, удовлетворяющих условиям:
|
1)
|
2)
|
|
3)
|
4)
|
|
5)
|
6)
|
|
7)
|
8)
|
|
9)
|
10)
|
|
11)
|
12)
|
|
13)
|
14)
|
|
15)
|
16)
|
|
17)
|
18)
|
|
19)
|
20)
|
|
21)
|
22)
|
3. Изобразить на координатной плоскости
множества точек 
удовлетворяющих условиям:
|
1)
|
2)
|
|
3)
|
4)
|
|
5)
|
6)
|
|
7)
|
8)
|
|
9) |
4. Вычислить расстояние между точками 
и 
, если:
|
1)
|
2)
|
|
3)
|
4)
|
|
5)
|
6) |
5. Найти середину отрезка
, если:
|
1)
|
2)
|
3)
|
|
4)
|
5)
|
6)
|
|
7)
|
8)
|
9)
|
6. В треугольнике 
найти длины сторон,
если:
1) 
2) 
7. Дан треугольник , 
Найти основания медиан.
8. В треугольнике найти длины медиан,
если:
1) 
2) 
9. Доказать, что треугольник с вершинами 
равнобедренный. Будет
ли он прямоугольным?
10. Доказать, что треугольник с вершинами 
равнобедренный и
прямоугольный.
11. На оси 
найти
точки, удаленные на расстояние 5 от точки 
12. Найти на плоскости 
точки, удаленные на
расстояние 5 от точек 
и 
.
13.
Найти координаты проекций точек 
а) на координатные оси;
в) на координатные плоскости.
14. Треугольник 
является проекцией
треугольника на плоскость 
Найти длины сторон
треугольника , если 
Основные сведенияКомплексное число обычно записывают в алгебраической
форме 
, где а - действительная часть 
, 
- мнимая часть , 
R , или в тригонометрической форме
, где 
- модуль
;
- аргумент
z,
,
.
Аргумент определяется
с точностью до 
.
Главным значением аргумента будем считать 
из промежутка 
. Общее значение
аргумента
.
При выполнении операций над комплексными числами можно использовать формулы
Муавра. Если 
,
то
;
, если 
;
.
Корень степени n из комплексного
числа имеет n различных значений, которые
можно вычислить по формуле
Пример 1. Вычислить 
.
Решение. Представим число 
в тригонометрической
форме.
.
Значит, 
Поэтому 
.
Пример 2. Найти все значения 
.
Решение. 
.
Воспользуемся формулой 
.
.
1. Вычислить
|
1)
|
2)
|
|
3)
|
4)
|
|
5)
|
6)
|
|
7)
|
8)
|
|
9)
|
10)
|
2. Вычислить 
если:
3. Изобразить на комплексной плоскости числа:
и сопряженные им числа.
4. Найти модуль и главное значение аргумента чисел:
и сопряженных им чисел.
5. Записать в тригонометрической форме числа:
6. Вычислить:
|
1) |
2) |
|
3) |
4) |
7. Изобразить на комплексной плоскости множества точек , удовлетворяющих
условию:
|
1) |
2) |
3) |
|
4) |
5) |
6) |
|
7) |
8) |
9) |
|
10)
|
11)
|
12)
|
|
13)
|
14)
|
15) 0 < Imz < 3. |
8. Найти все значения корня:
|
1) |
2) |
3) |
|
4) |
5) |
6) |
9. Решить уравнения:
|
1) |
2) |
|
3) 5) |
4) 6) |
|
7) |
8) |
Многочленом называют функцию вида
, где 
- числа, x - переменная. Обычно считают, что 
. Тогда n - степень многочлена.
Пусть 
имеет степень n, 
- многочлен степени m, причем 
. Тогда можно разделить
на с остатком, т.е.
представить 
в виде 
.
Здесь 
- частное (многочлен
степени n - m), 
-
остаток (многочлен, степень которого строго меньше m).
Деление можно выполнить "уголком".
Число a называют корнем многочлена , если 
. Корень a имеет кратность 
, если делится без остатка на
и не делится без
остатка на 
.
Многочлен с действительными
коэффициентами может иметь комплексные корни. Если 
- корень кратности , то 
тоже корень кратности .
Многочлен с действительными коэффициентами можно представить в виде произведения неприводимых множителей.
|
( |
|
- степень многочлена .
Рациональная функция – отношение двух многочленов
.
Если степень меньше, чем степень , то называется правильной
рациональной функцией.
Простейшими рациональными функциями называют функции вида
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.
.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
.
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
;
.
, (1)
г где 
,