Векторы. Основные сведения. Скалярное произведение векторов. Свойства скалярного произведения

§ 6. Векторы

Основные сведения

Длина вектора  вычисляется по формуле

.

Если ,  то вектор  имеет координаты

.

Пусть .  Тогда

,       , .

Косинусы углов, образованных вектором  с положительными координатными полуосями, называют направляющими косинусами вектора,

.

Вектор с координатами  сонаправлен с вектором  и имеет единичную длину.

Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением вектора  на вектор  называют число, обозначаемое ,

, где  – угол между векторами  и . Если даны координаты векторов, то скалярное произведение можно вычислить следующим образом:

.

Угол между векторами можно найти, используя формулу

.

Свойства скалярного произведения.

.

Векторное произведение векторов

Векторным произведением вектора  на вектор  называют вектор  со свойствами:

 Векторы   образуют правую тройку.

Векторное произведение вектора  на вектор  обозначают 

Свойства векторного произведения

;

Векторное произведение можно вычислить по формуле:

.

Примеры решения задач

Пример 1. . Найти направляющие косинусы вектора  .

Решение. .

.

Пример 2. Векторы  неколлинеарные, т.к. коллинеарность означает линейную зависимость этих векторов: , т.е. . Полученная система очевидно несовместна. Поэтому можно утверждать, что векторы  и  образуют базис на плоскости. Пусть . Разложить вектор  по базису .

Решение.  .

Следовательно, вектор  имеет в базисе  координаты .

Пример 3. Даны точки . Найти косинус .

Решение. .

,

.

Пример 4. Даны точки . Найти площадь треугольника .

Решение.  

.

.

.

Задания для самостоятельного решения

1.  Векторы  и заданы геометрически. Построить векторы  

2.  Пусть  Вкаком случае вектор  параллелен биссектрисе угла  в треугольнике?

3.  В треугольнике   записать какой-либо вектор, параллельный биссектрисе угла .

4. Найти длину вектора  если:

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  .

5. Найти координаты вектора если:

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  ;

5)  .

6. Найти координаты точки, если:

1)  ;

2)  ;

3)  .

7. Пусть . Проверить справедливость равенства  .

8. Вычислить направляющие косинусы векторов .

9. Найти координаты векторов , если:

.

10. При каком  коллинеарны векторы  и ?

1) 

2) 

3) 

11. Убедиться в том, что векторы ,  образуют базис на плоскости. Найти разложение по базису  и  векторов

12. Найти скалярное произведение векторов  и , образующих угол :

1) 

2) 

3) 

4) 

13. Известно, что  Вычислить скалярные произведения векторов:

14. Вычислить скалярное произведение векторов  и :

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

15. Вычислить угол между векторами  и :

1) 

2) 

3)  .

16. Вычислить, при каком  векторы  и  перпендикулярны:

1) 

2) 

17. Найти углы треугольника , если:

1) 

2) 

18. Вычислить  если:

1)   и угол между ними ;

2) 

3) 

4) 

19. Вычислить    и  ,  если:

1) 

2) 

3) 

20. Найти площадь треугольника, если:

1) 

2) 

3)