Динамический синтез с использованием запретных зон. Метод динамического синтеза систем автоматического управления, страница 2

Для того, чтобы система отработала данный входной сигнал с ограниченной ошибкой, она должна быть астатической, то есть  и . Изображение ошибки в такой системе равно . По теореме о предельных значениях  .  Тогда при  (предельный случай)  и  . Отсюда, если потребовать , можно получить значение граничного коэффициента усиления  системы   .

Из передаточной функции разомкнутой системы  получаем последовательно частотные характеристики:

АФЧХ - ,   АЧХ  -  , и  - ЛАХ системы.  При полученная ЛАХ асимптотически стремится к прямой      с наклоном , пересекающей ось ординат в точке .

Аналогично предыдущему случаю асимптота  является множеством точек (коэффициентов усиления системы на частоте ω), когда при отработке гармонического сигнала , скорость изменения которого не превышает , установившаяся ошибка не превосходит .

Покажем истинность данного утверждения. Так как , то  .  Отсюда  и . Установившаяся ошибка при гармоническом входном сигнале также имеет гармонический характер, причем амплитуда ее

, где  - коэффициент усиления системы на частоте . Тогда из условия  получаем, что  и  запретная зона будет определяться выражением , что полностью совпадает с уравнением прямой, полученной выше.

1.3.  Обеспечение заданной точности по входному воздействию при ограничениях

Как и ранее, рассмотрим режим   ,   .

Для того чтобы система отработала данный входной сигнал с ограниченной ошибкой, она должна обладать свойством астатизма второго порядка, то есть   и   .

Изображение ошибки в такой системе равно . По теореме о предельных значениях  .  Тогда при  (предельный случай)  и  . Отсюда, если потребовать , можно получить значение граничного коэффициента усиления  системы .

Из передаточной функции разомкнутой системы  получаем последовательно частотные характеристики:

АФЧХ -   ,   АЧХ  -  , и  - ЛАХ системы.  При полученная ЛАХ асимптотически стремится к прямой      с наклоном , пересекающей ось ординат в точке .

Аналогично предыдущему случаю данная линия является множеством точек (коэффициентов усиления системы на частоте ω), когда при отработке гармонического сигнала , ускорение которого не превышает , установившаяся ошибка не превосходит .

Покажем истинность данного утверждения. Так как , то  . Отсюда  и . Установившаяся ошибка при гармоническом входном сигнале также имеет гармонический характер, причем амплитуда ее

, где  - коэффициент усиления системы на частоте . Тогда из условия  получаем, что  и  запретная зона будет определяться выражением    ,   что полностью совпадает с уравнением прямой, полученной выше.

1.4.  Общий случай ограниченного входного сигнала

Рассматривается ситуация, когда  на входное воздействие одновременно наложены ограничения:  , .

Из п.п. 1.2 и 1.3 следует, что требование отработки с заданной погрешностью входного воздействия, ограниченного по скорости или ускорению, равносильно обеспечению требуемой точности при отработке входного сигнала меньшей амплитуды.

Так, если  ограничена скорость изменения , то это равносильно отработке гармонического сигнала  с погрешностью .  А случай  соответствует отработке воздействия   с тем же требованием.

Таким образом, последовательно накладывая ограничения на входной сигнал, можно получить запретную зону, изображенную на рисунке. Запретная зона состоит из трех участков, каждый из которых построен с учетом соответствующих ограничений на входное воздействие. Дополнительно показаны значения точек пересечения линий продолжения участков запретной зоны осей абсцисс и ординат. Так, из условия  L₂(ω₀)=0 или  , получаем  . Из условия L₁(ω_С)=0 или , получаем  .  Общие точки (точки излома запретной зоны) найдены из условий L₀(ω_Э1)= L₁(ω_Э1) и L₁(ω_Э2)= L₂ω_Э2). (Вычисления рекомендуется выполнить самостоятельно).