Потребности новых районов застройки города в телефонах. Экономико-математическая модель задачи, составленная с помощью модифицированного метода линейного программирования

Министерство Российской Федерации по связи и         информатизации

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Контрольная работа

по дисциплине: «Экономико-математические методы и модели в отрасли связи »

Выполнил слушатель:

                                                                      Группа: ЭДТ – 32

Проверил преподаватель:

г. Тайшет  2006 год

Задача №1

На территории города имеется три телефонные станции А, Б, и В. незадействованные ёмкости станций составляют на станции А-Qа, Б-Qб, В-Qв номеров. Потребности новых районов застройки города в телефонах составляют: 1-Q1, 2-Q2, 3-Q3, 4-Q4 номеров.

Необходимо составить экономико-математическую модель задачи с помощью модифицированного метода линейного программирования найти вариант распределения ёмкостей телефонных станций между районами новой застройки, который обеспечивал бы минимальные затраты как на строительство, так и на эксплуатацию линейных сооружений телефонной сети. Естественно, что таким вариантом при прочих равных условия будет такое распределение ёмкости, при котором общая протяжённость абонентских линий будет минимальной.

Запишем условия задачи в виде таблице:

Пусть х₁₁, х₁₂, х₁₃, х₁₄,-число номеров со станции А, размещенных соответственно в 1,2,3 и 4-х районах.

Пусть х₂₁, х₂₂, х₂₃, х₂₄,- число номеров со станции Б, размещенных соответственно в 1,2,3 и 4-х районах.

Пусть х₃₁, х₃₂, х₃₃, х₃₄,- число номеров со станции В, размещенных соответственно в 1,2,3 и 4-х районах.

В этом случае целевая функция будет иметь следующий вид:

при ограничениях:

х₁₁+х₁₂+х₁₃+х₁₄500

х₂₁+х₂₂+х₂₃+х₂₄1100

х₃₁+х₃₂+х₃₃+х₃₄900

х₁₁+х₂₁+х₃₁200

х₁₂+х₂₂+х₃₂500

х₁₃+х₂₃+х₃₃900

х₁₄+х₂₄+х₃₄200

х_ij, i=, j=

Сформулированная таким образом задача является задачей линейного программирования  и для ее решения целесообразно воспользоваться симплекс-методом.

Приведем задачу к каноническому виду, для чего введем дополнительные переменные у₁, у₂, у₃, у₄, у₅, у₆, у₇

Получаем:

Ограничения имеют вид:

х₁₁+х₁₂+х₁₃+х₁₄+ у₁=500

х₂₁+х₂₂+х₂₃+х₂₄+ у₂=1100

х₃₁+х₃₂+х₃₃+х₃₄+ у₃= 900

х₁₁+х₂₁+х₃₁+ у₄= 200

х₁₂+х₂₂+х₃₂+ у₅= 500

х₁₃+х₂₃+х₃₃+ у₆= 900

х₁₄+х₂₄+х₃₄+ у₇= 200

Дополнительные переменные вводятся также в целевую функцию с нулевыми коэффициентами.

Видно, что эту задачу можно решить методом линейного программирования, так как число переменных n=19>m=7 (m-число уравнений в ограничениях)

Для решения поставленной задачи необходимо выбрать исходный опорный базис, которому соответствует исходный опорный базис, которому соответствует исходный опорный план. В качестве исходного базиса должна быть выбрана система линейно-независимых векторов из системы ограничений. В частности, для рассматриваемого случая в качестве исходного опорного базиса можно взять исходный опорный план из у₁, у₂, у₃, у₄, у₅, у₆, у₇ не равных нулю и значение целевой функции

Приступим к построению симплекс таблицы: таблица №1, таблица №2, таблица №3, таблица №4, таблица №5, таблица №6, таблица №7.

Ответ: х₁₃=500, х₂₁=200, х₂₄=200, х₃₁=0, х₃₂=500, х₃₃=400, у₇= 0

х₁₁=х₁₂=х₁₄=х₂₂=х₂₃=х₃₄=у₁=у₃= у₄= у₅=у₆=у₇=0

Примечание: у₂=700-возможность станции Б незадействованная.

Задача №2

Необходимо оценить работу автоматической телефонной станции (АТС), которая имеет n линий связи. Моменты поступления вызовов на станцию являются случайными и независимыми друг от друга. Средняя плотность потока равна λ вызовов в единицу времени. Продолжительность каждого разговора является величиной случайной и подчинена показательному закону распределения. Среднее время одного разговора равно t_обс единиц времени.

Дано:

Количество линий n, n=7

Средняя плотность потока  (вызова в ед.вр)

Среднее время разговора , t_обс=2 (един., времени)

Необходимо оценить работу АТС

Решение:

Определим интенсивность потока обслуживания  обслуживание в ед. времени.

Определим интенсивность нагрузки канала Р

Р= (вызовов)

Таким образом находим вероятности

Р₀-вероятность того, что все каналы свободны

Р₁- вероятность того, что один канал занят, остальные свободные

……

Р₇-вероятность того что все каналы заняты

Р₇=Р_отк (вероятность отказа)

Р_отк=0,3082 (все каналы заняты)

Относительная пропускная способность Q

Абсолютная пропускная способность А

Результаты сведем в Таблицу №1

Ответ:

1)  То есть вероятность того, что будет занят 1 канал, все остальные