Потребности новых районов застройки города в телефонах. Экономико-математическая модель задачи, составленная с помощью модифицированного метода линейного программирования

Страницы работы

14 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

Министерство Российской Федерации по связи и         информатизации

Сибирский Государственный Университет Телекоммуникаций и Информатики

Межрегиональный центр переподготовки специалистов

Контрольная работа

по дисциплине: «Экономико-математические методы и модели в отрасли связи »

Выполнил слушатель:

                                                                      Группа: ЭДТ – 32

Проверил преподаватель:

г. Тайшет  2006 год

Задача №1

На территории города имеется три телефонные станции А, Б, и В. незадействованные ёмкости станций составляют на станции А-Qа, Б-Qб, В-Qв номеров. Потребности новых районов застройки города в телефонах составляют: 1-Q1, 2-Q2, 3-Q3, 4-Q4 номеров.

Необходимо составить экономико-математическую модель задачи с помощью модифицированного метода линейного программирования найти вариант распределения ёмкостей телефонных станций между районами новой застройки, который обеспечивал бы минимальные затраты как на строительство, так и на эксплуатацию линейных сооружений телефонной сети. Естественно, что таким вариантом при прочих равных условия будет такое распределение ёмкости, при котором общая протяжённость абонентских линий будет минимальной.

Запишем условия задачи в виде таблице:

Станции

Районы

Возмож-ность

1

2

3

4

А

4

5

6

4

500

Б

3

2

1

4

1100

В

6

7

5

2

900

Спрос

200

500

900

200

Пусть х11, х12, х13, х14,-число номеров со станции А, размещенных соответственно в 1,2,3 и 4-х районах.

Пусть х21, х22, х23, х24,- число номеров со станции Б, размещенных соответственно в 1,2,3 и 4-х районах.

Пусть х31, х32, х33, х34,- число номеров со станции В, размещенных соответственно в 1,2,3 и 4-х районах.

В этом случае целевая функция будет иметь следующий вид:

при ограничениях:

х11121314500

х212223241100

х31323334900

х112131200

х122232500

х132333900

х142434200

хij, i=, j=

Сформулированная таким образом задача является задачей линейного программирования  и для ее решения целесообразно воспользоваться симплекс-методом.

Приведем задачу к каноническому виду, для чего введем дополнительные переменные у1, у2, у3, у4, у5, у6, у7

Получаем:

Ограничения имеют вид:

х11121314+ у1=500

х21222324+ у2=1100

х31323334+ у3= 900

х112131+ у4= 200

х122232+ у5= 500

х132333+ у6= 900

х142434+ у7= 200

Дополнительные переменные вводятся также в целевую функцию с нулевыми коэффициентами.

Видно, что эту задачу можно решить методом линейного программирования, так как число переменных n=19>m=7 (m-число уравнений в ограничениях)

Для решения поставленной задачи необходимо выбрать исходный опорный базис, которому соответствует исходный опорный базис, которому соответствует исходный опорный план. В качестве исходного базиса должна быть выбрана система линейно-независимых векторов из системы ограничений. В частности, для рассматриваемого случая в качестве исходного опорного базиса можно взять исходный опорный план из у1, у2, у3, у4, у5, у6, у7 не равных нулю и значение целевой функции

Приступим к построению симплекс таблицы: таблица №1, таблица №2, таблица №3, таблица №4, таблица №5, таблица №6, таблица №7.

Таблица 1

 

Базис

X11

x12

x13

x14

x21

x22

x23

x24

x31

x32

x33

x34

у1

у2

у3

у4

у5

у6

у7

B

 

Z

4

5

6

4

3

2

1

4

6

7

5

2

0

0

0

0

0

0

0

 

у1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

500

 

у2

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1100

 

у3

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

1

0

0

0

0

900

900

 

у4

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

200

 

у5

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

500

500

 

у6

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

900

 

у7

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

200

 

Ведущий столбец х32, ведущая строка у5

 
 

Таблица 2

 

Базис

X11

x12

x13

x14

x21

x22

x23

x24

x31

x32

x33

x34

у1

у2

у3

у4

у5

у6

у7

B

 

Z

4

-2

6

4

3

-5

1

4

6

0

5

2

0

0

0

0

-7

0

0

 

у1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

500

 

у2

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1100

 

у3

0

-1

0

0

0

-1

0

0

1

0

1

1

0

0

1

0

-1

0

0

400

400

 

у4

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

200

200

 

х32

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

500

 

у6

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

900

 

у7

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

200

 

Ведущий столбец х31, ведущая строка у4

 
 

Таблица 3

 

Базис

X11

x12

x13

x14

x21

x22

x23

x24

x31

x32

x33

x34

у1

у2

у3

у4

у5

у6

у7

B

 

Z

-2

-2

6

4

-3

-5

1

4

0

0

5

2

0

0

0

-6

-7

0

0

 

у1

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

500

500

 

у2

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1100

 

у3

-1

-1

0

0

-1

-1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

-1

-1

0

0

200

 

х31

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

200

 

х32

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

500

 

у6

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

900

900

 

у7

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

200

 

Ведущий столбец х13, ведущая строка у1

 
 

Таблица 4

 

Базис

X11

x12

x13

x14

x21

x22

x23

x24

x31

x32

x33

x34

у1

у2

у3

у4

у5

у6

у7

B

 

Z

-8

-8

0

-2

-3

-5

1

4

0

0

5

2

-6

0

0

-6

-7

0

0

 

х13

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

500

 

у2

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1100

 

у3

-1

-1

0

0

-1

-1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

-1

-1

0

0

200

200

 

х31

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

200

 

х32

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

500

 

у6

-1

-1

0

-1

0

0

1

0

0

0

1

0

-1

0

0

0

0

1

0

400

400

 

у7

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

200

 

Ведущий столбец х33, ведущая строка у3

 
 

Таблица 5

 

Базис

X11

x12

x13

x14

x21

x22

x23

x24

x31

x32

x33

x34

у1

у2

у3

у4

у5

у6

у7

B

 

Z

-3

-3

0

-2

2

0

1

4

0

0

0

-3

-6

0

-5

-1

-2

0

0

 

х13

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

500

 

у2

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

1100

1100

х33

-1

-1

0

0

-1

-1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

-1

-1

0

0

200

 

х31

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

200

 

х32

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

500

 

у6

0

0

0

-1

1

1

1

0

0

0

0

-1

-1

0

-1

1

1

1

0

200

 

у7

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

200

200

 

Ведущий столбец х24, ведущая строка у7

 
 

Таблица 6

 

Базис

X11

x12

x13

x14

x21

x22

x23

x24

x31

x32

x33

x34

у1

у2

у3

у4

у5

у6

у7

B

 

Z

-3

-3

0

-6

2

0

1

0

0

0

0

-7

-6

0

-5

-1

-2

0

-4

 

х13

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

500

 

у2

0

0

0

-1

1

1

1

0

0

0

0

-1

0

1

0

0

0

0

-1

900

900

 

х33

-1

-1

0

0

-1

-1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

-1

-1

0

0

200

 

х31

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

200

200

 

х32

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

500

 

у6

0

0

0

-1

1

1

1

0

0

0

0

-1

-1

0

-1

1

1

1

0

200

200

 

х24

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

200

 

Ведущий столбец х21, ведущая строка у6

 
 

Таблица 7

 

Базис

X11

x12

x13

x14

x21

x22

x23

x24

x31

x32

x33

x34

у1

у2

у3

у4

у5

у6

у7

B

 

Z

-3

-3

0

-4

0

-1

-1

0

0

0

0

-5

-4

0

-3

-3

-4

-2

-4

 

х13

1

1

1

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

500

 

у2

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

-1

-1

-1

-1

700

 

х33

-1

-1

0

-1

-1

0

1

0

0

0

1

0

-1

0

0

0

0

1

0

400

 

х31

1

0

0

1

1

-1

-1

0

1

0

0

1

1

0

1

0

-1

-1

-1

0

 

х32

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

0

500

 

х21

0

0

0

-1

1

1

1

0

0

0

0

-1

-1

0

-1

1

1

1

0

200

 

х24

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

1

200

 
 

Ответ: х13=500, х21=200, х24=200, х31=0, х32=500, х33=400, у7= 0

х11121422233413= у4= у567=0

Примечание: у2=700-возможность станции Б незадействованная.

Задача №2

Необходимо оценить работу автоматической телефонной станции (АТС), которая имеет n линий связи. Моменты поступления вызовов на станцию являются случайными и независимыми друг от друга. Средняя плотность потока равна λ вызовов в единицу времени. Продолжительность каждого разговора является величиной случайной и подчинена показательному закону распределения. Среднее время одного разговора равно tобс единиц времени.

Дано:

Количество линий n, n=7

Средняя плотность потока  (вызова в ед.вр)

Среднее время разговора , tобс=2 (един., времени)

Необходимо оценить работу АТС

Решение:

Определим интенсивность потока обслуживания  обслуживание в ед. времени.

Определим интенсивность нагрузки канала Р

Р= (вызовов)

Таким образом находим вероятности

Р0-вероятность того, что все каналы свободны

Р1- вероятность того, что один канал занят, остальные свободные

……

Р7-вероятность того что все каналы заняты

Р7отк (вероятность отказа)

Ротк=0,3082 (все каналы заняты)

Относительная пропускная способность Q

Абсолютная пропускная способность А

Результаты сведем в Таблицу №1

таблица №1

характеристика обслуживания

Число линий

1

2

3

4

5

6

7

вероятность (Р)

0,0059

0,0237

0,0632

0,1264

0,2022

0,2696

0,3082

Относительная пропуск.,спо-ть

0,9941

0,9763

0,9368

0,8736

0,7978

0,7304

0,6918

Абсолютная пропуск.,спо-ть

3,9764

3,9052

3,7472

3,4944

3,1912

2,9216

2,7672

р=

8

Ро

0,0007

Ответ:

1)  То есть вероятность того, что будет занят 1 канал, все остальные

Похожие материалы

Информация о работе