Моделирование линейных динамических систем. Подготовительный этап. Модель исследования колебательного звена второго порядка с заданными параметрами

Санкт-Петербургский государственный технический университет Факультет Технической Кибернетики

Кафедра Компьютерных Систем и Программных Технологий

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1

Дисциплина: Моделирование систем управления

Тема: Моделирование линейных динамических систем

Выполнил студент гр. 4081/1                          

Руководитель, к.т.н., доцент                            

"___ "_________ 2011 г.

Санкт-Петербург 2011

Вариант №5:

Передаточная функция исследуемого звена: (варьируем K)

1. Подготовительный этап

1.1.  Перейти от записи системы в виде передаточной функции к записи в виде уравнений состояния:

-  аналитически

- система уравнений состояния стационарной системы, где А – матрица состояния,В – матрица управления, С – матрица выхода по состоянию, D – матрица выхода по управлению, Х – вектор состояния.

переменные состояния:  ,

-  с использованием Control System Toolbox

>> sys = tf(5, [0.04, 0.16, 1])

Transfer function:

          5

---------------------

0.04 s^2 + 0.16 s + 1

>> sys_ss = ss(sys)

a =

          x1     x2

   x1     -4  -6.25

   x2      4      0

b =

       u1

   x1   4

   x2   0

c =

          x1     x2

   y1      0  7.813

d =

       u1

   y1   0

Continuous-time model.

Переход от передаточной функции к уравнениям состояния является неоднозначным, поэтому матрицы, полученные аналитически и с использованием Control System Toolbox, различаются.

1.2.  Определить нули и полюса системы с использованием Control System Toolbox

>> pole(sys)

ans =

  -2.0000 + 4.5826i

  -2.0000 - 4.5826i

1.3.  Построить в Simulink модель исследования колебательного звена второго порядка с заданными параметрами К, Т и z

Рис 1.3. Схема набора модели

1.4.  Написать скрипт на языке Matlab, который по данным переходного процесса будет определять показатели качества  (перерегулирование,  время переходного процесса, колебательность)

%Определение параметров качества переходного процесса

function [tp, sigma, koleb] = quality_dron( sys )

% [TP SIGMA X0] = quality( sys ), где sys - система управления,

% описанная функциями tf, ss, zpk возвращает значения времени

% переходного процесса, перерегулирования, колебательности

% переходного процесса в системе

sys = tf(5, [0.25, 0.7, 1]);    % передаточная функция

%вычисляем полюса системы

p1 = pole(sys);

%вычисляем мнимые части полясов

p2 = imag(p1);

%вычисляем вещественные части полясов

pl = real(p1);

%проверка на правые полюса

if ( any(pl>0) ) return;   end;

pl = -pl;

%вычисляем степень устойчивости

n = min(pl);

%вычисляем степень колебательности

k = min(p2);

koleb = tan(k/n); 

%вычисляем время переходного процесса (приближенно)

tp = log(20) / n;

%вычисление перерегулирования

[y t] = step(sys);

xmax = Get1Maximum(y);

%вычисление установившегося значения

[y t] = step(sys, t(end)*100);

x0 = y(end);

%вычисляем перерегулирование

sigma = xmax/x0 - 1;

%вывод результатов в командное окно

tp = tp

sigma = sigma

koleb = koleb

return;

%поиск максимального подъема переходной характеристики

function h = Get1Maximum( x )

h = x(1);

for (i=2:length(x))

if ( x(i) >= h ) h = x(i);

else break;

end;

end;

return;

>> результаты

tp = 2.1398

sigma = 0.0460

koleb = -1.6289

ans = 2.1398

1.5.  Определить передаточную функцию системы,  полученной из заданной путем ее замыкания через единичную отрицательную обратную связь (ООС), перейти от записи системы в виде передаточной функции к записи в виде уравнений состояния, определить нули и полюса системы.

Для нахождения передаточной функции системы, полученной из заданной путем ее замыкания через единичную ОС, воспользуемся функцией feedback:

>> K=5;

>> T=0.04;

>> z=0.16;

>> func = tf( [K/T^2], [1 2*z/T 1/T^2] );

>> func_os = feedback( func, 1 )

Transfer function:

3125

---------------s^2 + 8 s + 3750

Переход от записи системы в виде передаточной функции к записи в виде уравнений состояния:

>> [A, B, C, D] = tf2ss( func_os.num{1}, func_os.den{1} )

A =       -8       -3750

1           0

B =        1

0

C =        0        3125

D =        0

Поиск нулей системы:

>> matr = ss( A, B, C, D )

a =       x1     x2

x1     -8  -3750

x2      1      0

b =     u1

x1   1

x2   0

c =       x1    x2

y1     0  3125

d =     u1

y1   0

Continuous-time model.

Поиск полюсов системы:

>> pol = pole( ss_sys )

pol =  -4.0000 +61.1065i

-4.0000 -61.1065i

1.6.  Построить в Simulink  модель для исследования полученной замкнутой системы с ООС

Рис 1.6. Схема набора модели с отрицательной ОС

2. Моделирование временных характеристик звена

2.1. Построить переходную функцию звена с использованием Simulink и Control System Toolbox

>> sys = tf(5, [0.25, 0.7, 1]);

>> step(sys)

Рис 2.1.1. Переходная характеристика в Control System Toolbox

Рис 2.1.2. Переходная характеристика в Simulink

2.2. По переходной характеристике определить показатели качества переходного процесса

Быстродействие (время переходного процесса): 2.13 сек (см. Рис 2.1.2)

Перерегулирование:

Колебательность = число колебаний выходной величины за время переходного процесса = 1

2.3. Исследовать влияние заданного параметра (K) на вид переходной функции

Функция размещает графики переходных функций для различных z на одном рисунке:

function f = step_sys(sys)

sys1 = tf(5, [0.16, 0.04, 1]);

step(sys1)

hold on;

sys2 = tf(5*0.1, [0.16, 0.04, 1]);

step(sys2)

hold on;

sys3 = tf(5*0.5, [0.16, 0.04, 1]);

step(sys3)

hold on;

sys4 = tf(5*2, [0.16, 0.04, 1]);

step(sys4)

hold on;

sys5 = tf(5*5, [0.16, 0.04, 1]);

step(sys5)

hold on;

sys6 = tf(5*10, [0.16, 0.04, 1]);

step(sys6)

hold on;

grid on;

legend('10%z','50%z','100%z','150%z','200%z','1000%z');

return;

Рис 2.3. Переходная характеристика для различных K

Легко заметить, что изменение К не влияет на исследуемые показатели качества переходного процесса. Пропорционально изменению К меняется установившееся значение (собственно, оно равно К).

2.5. Построить весовую функцию звена с использованием Simulink и Control System Toolbox

>> sys = tf(5, [0.04, 0.16, 1]);

>> impulse(sys)

Рис 2.5.1. Весовая функция в Control System Toolbox

Рис 2.5.2. Весовая функция в Simulink

2.6. Исследовать влияние заданного параметра на вид весовой функции

Функция размещает графики весовых функций для различных z на одном рисунке:

function f = impulse_sys(sys)

sys1 = tf(5, [0.25, 0.7*0.1, 1]);

impulse(sys1)

hold on;

sys2 = tf(5, [0.25, 0.7*0.5, 1]);

impulse(sys2)

hold on;

sys3 = tf(5, [0.25, 0.7, 1]);

impulse(sys3)

hold on;

sys4 = tf(5, [0.25, 0.7*1.5, 1]);

impulse(sys4)

hold on;

sys5 = tf(5, [0.25, 0.7*2, 1]);

impulse(sys5)

hold on;

sys6 = tf(5, [0.25, 0.7*10, 1]);

impulse(sys6)

hold on;

grid on;

legend('10%z','50%z','100%z','150%z','200%z','1000%z');

return;

Рис 2.6. Весовые функции для различных K

Так же, как и в случае с переходными характеристиками, изменение параметра K не влияет на показатели качества.

3. Моделирование частотных характеристик звена

3.1. Построить частотные характеристики (АЧХ и ФЧХ) с использованием Control System Toolbox

>> sys = tf(5, [0.04, 0.16, 1]);

>> bode(sys)

Рис 3.1. АЧХиФЧХв Control System Toolbox

3.2. Исследовать влияние заданного параметра (K)  на вид частотных характеристик

Функция, размещающая графики АЧХ и ФЧХ для различных K на одном рисунке, аналогична представленным выше функциям.

Рис 3.2. АЧХ и ФЧХ  для различных K

Заметим, что изменение коэффициента усиления не оказывает влияния на вид фазовой частотной характеристики. Данный параметр влияет только на уровень, на котором проходит амплитудная частотная характеристика.

3.3. Построить АФЧХ с использованием Control System Toolbox

>> sys = tf(5, [0.25, 0.7, 1]);

>> nyquist(sys)

Рис 3.1. АФЧХв Control System Toolbox

3.4.  Исследовать влияние заданного параметра (z)  на вид АФЧХ

Функция, размещающая графики АФЧХ для различных K на одном рисунке