Классический анализ переходных процессов в RL-цепях первого порядка. Уравнение состояния цепи после коммутации

Классический анализ переходных процессов в RL-цепях

первого порядка

Задача 6.7

Рис. 6.1

Запишите выражение и постройте график напряжения uк(t) источника тока iк(t) после размыкания ключа в цепи Рис. 6.1, если L1 = 200 мГн, R2 = 200 Ом, L3 = 100 мГн, R4 = 400 Ом, а  А.

Решение.

Особенность рассматриваемой задачи состоит в том, что схема цепи после коммутации содержит две катушки L₁ и L₃. Однако, в схеме цепи, освобождённой от источника тока, они включены последовательно и могут быть заменены одной эквивалентной катушкой индуктивностью L₁ + L₃. Такая схема описывается однородным дифференциальным уравнением первого порядка. Поэтому заданная цепь после коммутации является цепью первого порядка.

Сначала решим эту задачу аналитически.

Совместим момент коммутации в цепи Рис. 6.1 с началом отсчёта относительного времени t в ней, то есть с моментом времени t = 0, когда

 А,          .

По умолчанию цепь до коммутации (Рис. 6.2) находится в стационарном состоянии, в котором токи i₁(t) и i₃(t) катушек L₁ и L₃ при t < 0 равны нулю. Следовательно, начальные (то есть накануне коммутации) значения токов катушек также равны нулю:

i₁(0–) = 0,                i₃(0–) = 0.

Рис. 6.3	Рис. 6.4

В качестве переменной состояния (независимой переменной) цепи после размыкания ключа (при t ³ 0) выберем ток одной из двух катушек, например, ток i₁(t) катушки L₁. В этом случае ток i₃(t) катушки L₃ станет зависимой переменной цепи, являющейся линейной функцией переменной состояния i₁(t) (и задающего тока i_к(t)):

i₃(t) = i_к(t)– i₁(t).

Составим затем уравнение состояния цепи после коммутации, в котором искомой функцией будет переменная состояния цепи ток i₁(t) катушки L₁. Считая известным выражение его мгновенного значения и опираясь на принцип компенсации *, изобразим схему замещения цепи для произвольного момента времени t ³ 0. Для схемы цепи Рис. 6.3 в результате такой замены получим схему замещения, как на Рис. 6.4. Из неё находим выражение напряжения u₁(t) катушки L₁:

или, поскольку i₁(t) = i₂(t), i₃(t) = i₄(t) = i_к(t)– i₁(t),

.

Интегрируя это выражение в пределах от 0– до 0+, получаем соотношение между начальными i₁(0–), i₃(0–) и стартовыми i₁(0+), i₃(0+) значениями токов катушек L₁ и L₃

.

С учётом связи стартовых значений токов катушек

i₃(0+) = i_к(0+) – i₁(0+).

находим

 А.

Вернёмся к последнему выражению напряжения u₁(t) катушки L₁, из которого, после несложных преобразований, учитывая линейное соотношение

i₃(t) = i_к(t)– i₁(t), справедливое при t ³ 0, получаем искомое уравнение состояния цепи, записанное в нормальной форме (форме Коши):

 

Здесь

 с^-1;

 с^-1;

.

Далее, как обычно, задачу решаем в два этапа. Сначала получим выражение переменной состояния цепи i₁(t) при t ³ 0 – тока катушки L₁ после размыкания ключа, а затем для тех же моментов времени t найдём выражение искомой зависимой переменной – напряжения u_к(t) источника тока i_к(t) цепи Рис. 6.3.

I этап. При t ³ 0 ток i₁(t) катушки L₁ представим суммой двух составляющих

, где i_1пр(t) – принуждённая составляющая тока катушки, совпадающая с выражением его гармонической составляющей; i_1св(t) – свободная составляющая тока катушки.

Из комплексной схемы цепи после коммутации (Рис. 6.5) находим комплексные амплитуды I_m1 и U_кm принуждённых составляющих тока катушки i_1пр(t) и напряжения источника тока u_кпр(t):

,              , где Y₁ и Y₂– комплексные проводимости ветвей схемы Рис. 6.5

 мСм;

 мСм;

I_кm – комплексная амплитуда задающего тока

 А.

Тогда

= А.

= В.

Запишем теперь выражения принуждённых составляющих тока катушки i_1пр(t) и напряжения источника тока u_кпр(t):

 А.

 В.

Для составления выражения свободной составляющей тока катушки получим сначала характеристическое уравнение и найдём его корни. Обращаясь к уравнению состояния цепи, записываем его характеристическое уравнение

, единственный корень которого равен

 с^-1.

Найдём, кстати, значение постоянной времени t рассматриваемой цепи

 мс.

При единственном корне характеристического уравнения

 А.

В соответствии с принятым представлением при t ³ 0 ток катушки

.

Полагая здесь t = 0+, находим

 А.

Следовательно, ток i₁(t) катушки L₁ в цепи (Рис. 6.1) представляется выражением:

 А, где s(t) – единичная ступенчатая функция (функция Хевисайда).

II этап. Напряжение источника тока u_к(t) в цепи после коммутации (Рис. 6.3) в данном случае определяется только по второму закону Кирхгофа:

 В, где d(t) = s¢(t) – единичная импульсная функция (функция Дирака) * .

После приведения подобных и сложения гармонических составляющих