Графики плотностей распределения и предельных и действующих напряжений. Вероятность отказа вала по критерию сопротивления усталости за усталостное время

Задача № 3.27

Исходные данные. Вал постоянного сечения работает на усталость при изгибе с вращением (симметричный цикл). Материал вала – сталь 9ХС. Диаметр вала – 60 мм. Коэффициент нагрузки k = = 0,65. Коэффициент вариации действующих напряжений = 0,15. Плотности f(), f() распределения действующих и предельных  напряжений подчиняется нормальному закону с параметрами , (средние значения) и ,  (среднее квадратические отклонения).

Требуется:

1.  Найти значение предела выносливости заданного материала при симметричном цикле напряжений, определенного при испытании гладких стандартных образцов диаметром d = 7…10 мм.

2.  Определить нижнюю границу рассеяния  пределов выносливости, принимая вероятность Р() = 0,001.

3.  Вычислить среднее значение  пределов выносливости вала.

4.  Построить интегральную функцию распределения Р() на нормальной вероятностной бумаге и вычислить среднее квадратическое отклонение  пределов выносливости вала.

5.  Определить значения параметров  и  функции распределения действующих напряжений.

6.  Построить графики плотностей распределения f() и f() предельных и действующих напряжений.

7.  Вычислить вероятность F отказа вала по критерию сопротивления усталости за усталостное время.

Решение.

1.  Значение предела выносливости  образцов из стали 9ХС найдем с помощью банка справочных данных по сопротивлению усталости металлов и сплавов [4]. Предел выносливости образцов из указанной стали при симметричном цикле с вращением равен = 990 МПа.

2.  Экспериментально установлено, что нижняя граница рассеяния пределов выносливости  является общей для деталей разных размеров, изготовленных из одного материала. Расчетную оценку величины  получают из установленного опытным путем соотношения = 0,5 [5] при учете того, что значение с достаточной для практических расчетов точностью соответствует вероятность Р() = 0,001 [5]. Следовательно, для стали 9ХС имеем = 0,5990 = 495 МПа.

3.  Среднее значение  пределов выносливости вала диаметром D = 60 мм из данной стали вычислим, используя масштабную зависимость величины . С учетом формулы:  К_d = 1 – 0,243(LgD – Lg7,5) [3. с. 17] получим:

= К_d  = [1 – 0,243(LgD – Lg7,5)]                          (1)

откуда

= 990[1 – 0,243(Lg60 – Lg7,5)] = 772 МПа.

4.  Правила построения и применения вероятностных сеток для различных теоретических законов распределения, в том числе и нормального закона распределения рекомендуется строить следующим образом [6]. По оси абсцисс применяют равномерную шкалу, а по оси ординат откладывают значения ординаты 'у' и надписывают величину Р(у) – значение нормированной центрированной функции нормального распределения. Для выбора масштаба по оси ординат задаются Р_min = 0,001 и Р_max = 0,999, которым соответствуют y_min = - 3,090 и y_max = 3,090; а величину S_y (ординату точки, отвечающей вероятности Р) вычисляют по формуле:

S_y (P) = y,                                               (2)

где     Н       – длина шкалы по оси ординат в миллиметрах;

у = z_p – квантиль нормального распределения, отвечающая значению Р.

В таблице 3 [7. с. 206] даны значения квантилей нормального распределения. При Р < 0,5 следует пользоваться соотношением S_p = - S_1-P. Например, при Р = 0,3S_0,3 = - S_0,7.

Построим функции распределения пределов выносливости  и  по изложенной методике. Для этого начертим ось абсцисс и нанесем на нее деления с равными промежутками, учитывая, что = 495 МПа в нашем случае, а максимум пределов выносливости прогнозируем =1000 МПа (рис. 8, [3. с. 23]). Выбрав длину шкалы ординат Н = 60 мм, из формулы (2) получим

S_y (P) =9,7z_p                                                         (3)

Пользуясь формулами (2), (3) и таблицей 3 [7. с. 206], построим шкалу вероятностей Р (см. рис. 8 [3. с. 23]).

Нанесем на полученную вероятностную сетку точки В и В₁ с абсциссами = 990 МПа, =772 МПа и ординатой Р = 0,5, а также точку А с абсциссой = 495 МПа и ординатой Р = 0,001. Проведем  из точки А через точки В и В₁ два луча, которые и являются интегральными функциями распределения Р() и Р() пределов выносливости  и  образца и вала соответственно.

Для оценки среднего квадратического отклонения  пределов выносливости вала диаметром D = 60 мм из заданной стали воспользуемся известной статистической зависимостью

()_Р =  + z_p,                                        (4)

где    ()_Р   – значение предела выносливости вала с вероятностью Р. Поскольку выше было установлено, что для

Р = 0,001 ()_Р = ()_0,001 = = 495 МПа, из формулы (4) найдем