Применение подобий к решению задач планиметрии. Задачи на доказательство. Задачи на построение, страница 2

По известной вершине К легко достроить и весь квадрат. Он получился как бы «растяжением» (гомотетией) подобной себе фигуры. В этом – суть метода .

       Решение. Высоты  h_a иh_b  соответствуют основаниям   a  и  b . Из формулы для площади  S = ah_a /2 = bh_b /2 получаем  h_a : h_b = b : a . То есть нам известны из условия угол С и отношение прилегающих к нему сторон, то есть вполне определена форма  искомого треугольника. Легко построить на сторонах угла С произвольные отрезки   a₁  и  b₁  с таким же отношением, и мы получим некоторый треугольник, подобный искомому. В нем можно измерить радиус R₁ описанной окружности. Если он отличается от требуемого R в k раз, то подвергнем построенный треугольник гомотетии с коэффициентом k, чтобы при найденной форме достичь и нужных размеров.

       Примечание.Само число k можно не искать, достаточно лишь с помощью циркуля  и  линейки  к трем известным отрезкам  R , R₁  и  a₁  из  пропорции     R : R₁ = a : a₁  найти  искомый  a  («четвертый пропорциональный отрезок»). 

Способ построения  (Рис.47) объясняется теоремой Фалеса о том, что на сторонах произвольного угла параллельные прямые (l1 и l) отсекают пропорциональные отрезки.

Рис.47

       Вывод. Метод гомотетии в задачах на построение эффективен в тех случаях, когда заранее известна форма искомой фигуры и задан характерный размер ее некоторого фрагмента. Тогда задача решается в два этапа:

а) строится фигура, подобная искомой; измеряется размер фрагмента, который соответствует упомянутому в условии;

б) построенная фигура подвергается гомотетии с целью достижения требуемых размеров.

Иными словами, сначала воспроизводится форма, а затем достигается нужный масштаб.

§ 2.5. Задания для самостоятельной работы

В этом параграфе приводятся условия упражнений, которые нужно выполнять индивидуально (по вариантам).

Упражнение 1. По известным числовым параметрам аналитического представления (11) подобного преобразования построить на координатной плоскости образ единичного квадрата (вписанного в угол хОу положительной четверти), определить тип подобия (согласно таблице 4), а также найти его неподвижную точку. В таблице 5 для каждого варианта указаны числовые значения для системы (11): коэффициент гомотетии k, параметр ε , угол поворота α и координаты параллельного переноса  a , b .

Упражнение 2. Для заданного треугольника А₁В₁С₁ (координаты вершин – в таблице 3, §1.7) построить его образ при центрально-подобном вращении   с центром О в начале координат. Коэффициент гомотетии k и значение угла  α  с учетом знака взять из условий предыдущего упражнения 1, но изменив знак на противоположный. Например, если в таблице 5 (для упражнения 1) предлагалось « k = +3 ,  α= –60⁰ », то теперь следует взять « k = -3 ,    α= +60⁰ ».

Упражнение 3. Применяя гомотетию, решить из приводимого ниже набора две задачи на построение. Их номера указаны в последнем столбце таблицы 5.

                                 Задачи на применение гомотетии.

1.  Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине и известной сумме основания и высоты.

2.  Построить треугольник по двум углам и биссектрисе.

3.  Построить треугольник по углу, отношению заключающих его сторон и сумме медиан.

4.  Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине и известной сумме основания и боковой стороны.

5.  Построить треугольник по двум углам и периметру.

6.  Построить треугольник по углу, отношению заключающих его сторон и высоте.

7.  Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине и высоте.

8.  Построить треугольник по двум углам и известной сумме медиан.

9.  Построить треугольник по углу, отношению заключающих его сторон и радиусу описанной окружности.

10. Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине и радиусу вписанной окружности.

11. Построить треугольник по двум углам и сумме высот.

12. Построить треугольник по углу, отношению заключающих его сторон и радиусу вписанной окружности.

13. Построить равнобедренный треугольник по углу при вершине и радиусу описанной окружности.

14. Построить треугольник по двум углам и радиусу описанной окружности.

15. Построить треугольник по углу, отношению заключающих его сторон и биссектрисе.

16. В данный угол вписать окружность, проходящую через заданную внутри угла точку.

17. В данный треугольник вписать ромб с данным углом так, чтобы две его вершины лежали на основании, а две другие – на боковых сторонах треугольника.

18. Вписать в данную окружность равнобедренный треугольник, у которого известно отношение боковой стороны к основанию.