Отношение делимости в кольцах. Понятие делимости и его основные свойства. Изучение многочленов из кольца, страница 2

Из равенств  и  видно, что класс дробей вида  играет роль нуля в P₁, а класс дробей вида  - роль единицы. Далее,  и  (при ). Поэтому в P₁ каждый элемент имеет противоположный, а каждый ненулевой элемент - обратный. Этим доказано, что P₁ - поле.

Построим в P₁ подкольцо R₁, изоморфное кольцу R. С этой целью поставим в соответствие каждому элементу  класс дробей , . Любые две дроби из этого класса эквивалентны: , поскольку . С другой стороны, любая дробь эквивалентная дроби , имеет вид  (действительно, если , то , а так как , то , следовательно, ).

Покажем, что если , то . В самом деле, если , то , а тогда . Значит, отображение  ставит в соответствие различным элементам кольца R различные классы. Равенства  ;  показывают, что при этом соответствии сохраняются операции сложения и умножения. Иными словами, кольцо R₁, состоящее из классов дробей вида , изоморфно кольцу R.

При этом P₁ - поле отношений для R₁: любая дробь  может быть представлена в виде:  (в самом деле,  ). Мы построили поле P₁ и в нем подкольцо R₁, изоморфное R и такое, что P₁ - поле отношений для R₁. Чтобы завершить доказательство теоремы, заменим каждый класс дробей вида  элементом a и соответственно определим операции (например,  ). Мы получаем поле P, содержащее кольцо R.

Наименьшее подполе в P, содержащее кольцо R, совпадает с P. Поэтому P называют полем отношений кольца R.

Пример 1. Пусть Z - кольцо целых чисел. Полем отношений для Z является поле Q рациональных чисел. Рациональным числом мы называем класс эквивалентных друг другу дробей. При этом дроби  и  (где , ) эквивалентны в том и только том случае, когда .

Пример 2. Пусть  - кольцо целых гауссовых чисел, т.е. множество чисел вида , где a, b - целые (). Полем отношений для  является множество классов эквивалентных дробей вида , где a, b, c, d - целые числа, . Но любая дробь такого вида эквивалентна дроби  . Так как   и  - обыкновенные дроби, задающие рациональные числа r и s, то поле отношений для  состоит из чисел вида , где r и s рациональные числа. Это поле обозначают .

Пример 3. Пусть  - кольцо многочленов с действительными коэффициентами. Поле отношений для  состоит из классов эквивалентных алгебраических дробей.

В заключение этого пункта сделаем несколько замечаний о кольце K и кольце многочленов .

Если кольцо K является подкольцом кольца L или, что то же самое, кольцо L является расширением кольца K, то всякий многочлен с коэффициентами из K можно рассматривать и как многочлен с коэффициентами из L. При этом действия над такими многочленами в кольце L[x] приводят к тем же результатам, что и действия в кольце K[x]. Это означает, что кольцо K[x] является подкольцом кольца L[x].

Пользуясь этим обстоятельством, иногда говорят о значении многочлена  в точке . Это следует понимать таким образом, что f(x) рассматривается в данном случае как элемент кольца L[x]. В этом смысле говорят также о корнях многочлена , лежащем в кольце L.

Если кольцо K не является полем, то можно взять в качестве L его поле отношений. Таким способом можно иногда доказывать какие-либо утверждения о кольце K[x], исходя из аналогичных утверждений о кольцах многочленов над полями.

Другой частный случай, когда , а , особенно важен для приложений. Исследование поведения многочлена с действительными коэффициентами в комплексной области (в частности, исследование его комплексных корней) часто бывает полезным, даже если нас интересует, в конечном счете, только его свойства в действительной области.

Задача 1. Докажите, что  - поле частных  (чисел вида ).

Задача 2. Является ли поле комплексных чисел полем отношений кольца целых гауссовых чисел?

4. Отношение делимости в кольцах.

4.1. Понятие делимости и его основные свойства.

Для дальнейшего изучения многочленов из кольца K[x] необходимо ввести понятие их делимости. Так как K[x] - кольцо, то сначала мы рассмотрим общие вопросы делимости в произвольных кольцах[1] [1], а затем перейдем к многочленам.

Определим отношение делимости в таких кольцах. Элемент a кольца K делится на элемент b того же кольца, если существует такой элемент , что . В этом случае пишут . Элемент b называется делителем элемента a.

В поле P любой элемент a делится на любой отличный от нуля элемент b. В самом деле, если , то существует элемент , обратный к b, т.е. такой, что , где e - единица поля P. А тогда имеем: . Так как , то .

В кольце  целых гауссовых чисел  делится на . В самом деле, , а .