Практические аспекты использования рядов МНК и Фурье. Методика работы с программным обеспечением

ВВЕДЕНИЕ

Рассмотренные ниже лабораторные работы № 1 и 2 предназначены для закрепления знаний студентов по разделам «Структурный анализ» и «Кинаматический анализ» в рамках дисциплин «Теория механизмов и машин», «Прикладная механика» и «Механика машин».

Задачей структурного анализа является определение строения механизма, в частности: числа звеньев, количества и типа кинематических пар, наличия пассивных звеньев, определение числа степеней свободы, количества и вида структурных групп.

Задачей кинематического анализа механизма с одной степенью свободы является определение при известном законе движения входного звена характера движения остальных звеньев механизма.

Объектом исследования при выполнении лабораторных работ являются плоские рычажные и кулачковые механизмы с одной степенью свободы.

Теоретические основы, необходимые для проведения лабораторных работ описаны в литературе по теории механизмов и машин, список которой приводится в конце пособия [1, 3, 4, 6]. В приложениях приведены примеры оформления лабораторных работ.

1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД КИНЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА МЕХАНИЗМОВ

Принципиально методика кинематического анализа, применяемая в рассматриваемых лабораторных работах одинакова для всех типов механизмов.

Кинематический анализ механизмов производится экспериментально-аналитически. Функция положения F(j_i) выходного звена в зависимости от угла поворота j_i  входного звена формируется экспериментально в виде таблицы значений с постоянным шагом по углу поворота входного звена [1, 3, 6].

Далее, полагая, что входное звено (кривошип или кулачок) вращается с постоянной угловой скоростью w = 5 … 50 1/c, получаем  функцию положения от времени F(t_i), исходя из того, что j_i = w×t_i. Для этого достаточно вычислить шаг функции F(t_i): Dt = Dj /w , где Dj – шаг по углу функции F(j_i), в радианах. Величина w задается преподавателем отдельно для каждой группы.

При проведении эксперимента, в процессе которого получаем зависимость F(j_i) возникают систематические и случайные погрешности, связанные как с работой самого механизма и погрешностью измерительных приспособлений (объективная составляющая), так и с невнимательностью экспериментатора (субъективная составляющая). В результате эксперимента функция F(t_i) получается искаженной погрешностями эксперимента. Кроме того, зависимость F(t_i) получается дискретной, то есть имеется информация только о значениях функции для ряда значений аргумента, но не для любых его значений.

Таким образом, после получения результатов эксперимента возникает три задачи:

1. Получить на основании имеющейся дискретной функции F(t_i) приближенную непрерывную зависимость F¢(t), т.е. провести аппроксимацию функции F(t_i).

2. По возможности сгладить полученную зависимость F¢(t), т.е. уменьшить экспериментальные погрешности.

3. Получить первую и вторую производные функции F¢(t), т.е. зависимости для скорости и ускорения выходного звена механизма, которые должны быть также гладкими.

Необходимость сглаживания зависимостей для перемещения, скорости и ускорения движения выходного звена механизма определяется тем, что в реальности при постоянной скорости движения входного звена перемещение выходного звена является плавным. Наличие же осцилляций данных функций (т.е. резкого изменения их значений или «скачков») связано с существованием экспериментальных погрешностей.

Одним из способов решения данных задач является применение рядов метода наименьших квадратов (МНК) и Фурье [2, 5].

Наилучшая аппроксимация дискретной функции на заданном интервале могут быть получены при использовании конечного ряда по ортогональным полиномам, называемого рядом метода наименьших квадратов МНК. Он обеспечивает наименьшую погрешность аппроксимации при быстрой сходимости и небольшом числе членов ряда.