Методы переменных состояния в теории автоматического управления. Современная теория автоматического управления

Характеристическое уравнение располагается в последней строке.

9

Структурная схема для управляемой канонической формы уравнений состояния

…

Здесь переменные состояния – фазовые координаты.

10

Другая форма: в правой части уравнения содержатся производные от входного воздействия

11

Введем переменные состояния:

Здесь координаты состояния xi – абстрактные переменные.

12

Этим уравнениям соответствует структура:

13

Возможно другое представление:

14

Структурная схема может быть преобразована к виду:

15

Тогда матрицы A, B, C в уравнениях состояния будут:

Это - наблюдаемая каноническая форма уравнений состояния.

Таким образом, переход от передаточной функции к описанию в переменных состояния является неоднозначным.

16

Другие канонические формы уравнений состояния.

17

Второй способ.

В двух последних формах матрица А – диагональная.

18

• Преимущества структурной модели :
• наглядное представление понятия "состояние систем",
• однозначно представляется структура взаимодействий
• между переменными в виде системы с обратными связями,
• структурные модели полезны при моделировании САУ
• на аналоговых или цифровых вычислительных машинах.

19

Пример получения уравнений состояния

Уравнения состояния:

20

П р и м е р. Система описывается дифференциальным уравнением Составим уравнения состояния и структурную схему

21

Свойства объектов и систем управления. Управляемость .

Определение. Система полностью управляема, если она может быть переведена из любого начального состояния x(0) в начало координат (0, 0,…,0) под действием управления u(t) за конечное время. Теорема Калмана об управляемости. Состояние непрерывной системы управляемо, если и только если ранг матрицы NУ = [B | AB | A2B | ... | An-1B] равен размерности пространства состояний n.

22

Пример 1. Проверим, управляема ли система:

23

Пример 2. Также проверим управляемость системы:

24

Пример 3.

Т.к. rangNy = 1 , система управляема неполностью. Порядок управляемой части равен 1.

В такой системе есть “висячая” часть на входе.

25

В случае представления объекта управления моделью типа “вход - выход” условием его управляемости является отсутствие общих корней полиномов А(p) и B(p): Т.е. система управляема, если алгебраические уравнения A(p)=a0pn+a1pn-1+…+an = 0, B(p)=b0pm+b1pm-1+…+bm = 0 не имеют общих корней.

Рассмотрим пример.

26

Пример 2. Определим управляемость системы, имеющей передаточную функцию

Прямой расчет корней числителя и знаменателя дает результаты, приведенные в табл.

Таким образом, числитель и знаменатель передаточной функции W(p) имеют два общих корня (-1 -j1.414) и ( -1+j 1.414). Значит, система не управляема. Изменение значений корней для этих пар в числителе или знаменателе переведет систему в ранг управляемых.

27

Наблюдаемость

• Для осуществления управления необходимо иметь информацию о текущем состоянии системы, т.е. о значениях вектора состояния x(t) в каждый момент времени.
• Однако некоторые из переменных состояния являются абстрактными, не имеют физических аналогов в реальной системе или же не могут быть измерены. Измеряемыми и наблюдаемыми являются физические выходные переменные y(t).
• Таким образом, возникает вопрос: можно ли определить вектор состояния по измеряемому вектору выхода и вектору входа?

28

Наблюдаемость

• Определение. Система называется полностью наблюдаемой, если по результатам измерения входных u(t) и выходных y(t) переменных можно однозначно определить все составляющие вектора x(t) на конечном интервале времени.
• Теорема Калмана о наблюдаемости. Система наблюдаема, если и только если ранг матрицы
• Nн = [CT | ATCT | (AT)2CT | ... | (AT)n-1CT].
• равен размерности пространства состояний.

Упражнение.

29

Пример 2.

• Рассмотрим систему:

30

31

Изменение базиса в уравнениях состояния

32

Пример (упражнение)

33

О синтезе системы

• Синтез системы - это направленный расчет, цель
• которого :
• построение рациональной структуры системы;
• нахождение оптимальных значений параметров отдельных звеньев.
• Качество управления можно описать двумя способами.
• Первый способ предусматривает или непосредственное задание динамических характеристик выходных координат системы при типовых воздействиях, или задание совокупности прямых и косвенных показателей качества (значение перерегулирования, времени регулирования, статической ошибки, частоты среза, полосы пропускания и т.д.).
• Второй способ основан на введении некоторого обобщенного функционала, определяемого всеми переменными системы управления u(t), x(t), y(t).
• В теории линейных систем управления широко используются оба указанных способа.

34

• Если передаточная функция системы не имеет нулей, то при выборе ее желаемого полинома D(p) можно руководствоваться стандартными формами (фильтрамиЧебышева, Баттерворта и др.)
• Стандартные формы определяют коэффициенты характеристического полинома , обеспечивающие в системе переходные и частотные характеристики с известными показателями качества.
• Если же система характеризуется наличием нулей, стандартные формы могут служить в качестве исходного материала для поиска своего оптимального расположения корней.
• Одним из основных методов проектирования детерминированных систем управления в пространстве состояний является метод расположения полюсов.

35

Распределение полюсов системы управления

• Рассмотрим систему с одним входом и одним выходом.
• Требуемое качество процессов может быть достигнуто заданием распределения полюсов замкнутой системы на комплексной плоскости.
• Для системы
• полюса системы - это собственные значения матрицы А или корни ее характеристического уравнения

36

37

• Если уравнения объекта заданы в нормальной форме (Фробениуса), то матрица обратных связей по состоянию
• Покажем это:

38

Пример

• Задана система:

Нормальная форма матрицы А:

39

Пусть желаемые полюсы : λ1= -3, λ2= -2 Желаемый характеристический полином: φ=(λ+3)(λ+1)= λ 2+4 λ +3; α1=4, α2=3. Тогда k1 = a2 - α2 = 2 - 3 = -1, k2 = a1- α1 = -3 - 4 = -7. K = |-1 -7| Следовательно: v = u - x1 -7x2 Вычислив матрицу перехода P от исходной к нормальной форме можно получить матрицу обратной связи для исходного представления