Расчет многомерной системы управления. Матрица передаточных функций и уравнения состояния

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Факультет технической кибернетики

Кафедра автоматики и вычислительной техники

Расчетное задание №1

Дисциплина: Оптимальные системы управления

Тема: Расчет многомерной системы управления

Выполнил студент гр. 5081/1                                                                                 

Проверил:                                                                                                                 

Санкт-Петербург

2009

1.  Постановка задания

По заданному объекту составить матрицу передаточных функций и уравнения состояния.

Рис. 1.1. Заданный объект.

2.    Составление матрицы передаточных функций

По заданному объекту, представленному на рис. 1.1, составим систему дифференциальных уравнений:

          

Объект описывается следующим образом:

Из полученной системы дифференциальных уравнений составим матрицы Q и R:

Подставим исходные данные в матрицы:

                                                                  

Найдем матрицу передаточных функций:

      

Поиск обратной матрицы:

- обратная матрица

 - определитель Q

  -  союзная матрица

Передаточная матрица:

3. Описание объекта с помощью уравнений состояния

Заданный объект описывается следующей системой дифференциальных уравнений:

Cоставим матрицы коэффициентов для переменных входа и выхода при степенях производной 0, 1 и 2:

Коэффициенты при 2-ой производной:

Коэффициенты при 1-ой производной:

Коэффициенты при 0-ой производной:

Вектора переменных состояния:

 

 

         

Получили систему уравнений состояния:

Матрица входа по состоянию:

Матрица входа по управлению:

Матрица выхода по состоянию:

Матрица компенсации:

Для проверки найдем матрицу передаточных функций:

                                                                                                    

           

Передаточная матрица совпадает с матрицей, рассчитанной в предыдущем пункте.

4. Проверка правильности расчетов

Для проверки правильности расчетов составим модель исследуемой системы в Simulink и получим переходные характеристики по возможным комбинациям входных и выходных величин.

Рис. 4.1.1. Схема объекта (subsystem) в Simulink.

Рис. 4.1.2. Модель для исследования переходной характеристики  относительно .

Рис. 4.1.3. Переходная характеристика  относительно .

Рис. 4.1.4. Модель для исследования переходной характеристики  относительно .

Рис. 4.1.5. Переходная характеристика  относительно .

Рис. 4.1.6. Модель для исследования переходной характеристики  относительно .

Рис. 4.1.7. Переходная характеристика   относительно .

Рис. 4.1.8. Модель для исследования переходной характеристики   относительно .

Рис. 4.1.9. Переходная характеристика   относительно .

Переходные процессы элементов матрицы передаточной функции совпадают с переходными процессами модели системы, что говорит о правильности вычисления W(p).