Исследование дифференциальной динамики оптимальной системы управления линейным объектом. Уравнения состояния и выхода в матричном виде

Страницы работы

Содержание работы

Санкт-Петербургский государственный политехнический университет

Кафедра компьютерных систем и программных технологий

Расчётное задание

Дисциплина: Адаптивные системы управления

Тема: Исследование дифференциальной динамики оптимальной системы управления линейным объектом

Выполнил студент группы 5081/1        подпись                                                                                    

Преподаватель      С.  

          подпись                   

Санкт-Петербург

2011

1.  Задание

Задан объект, описываемый линейным дифференциальным уравнением 2-го порядка:

Целевой функционал:

1)  Построить линии равного качества вблизи точки оптимума и гиперповерхность критериальной функции.

2)  Сравнить процессы в разных точках по интегральному и прямым показателям качества.

3)  Исследование влияния на критерий качества и вид переходного процесса дискретности регулятора.

2.  Исходные данные

Получим следующее уравнение:

3.  Выполнение работы

3.1.  Переход к уравнениям состояния

Уравнения состояния и выхода в матричном виде:

.

Получим векторно-матричное уравнение состояния:

3.2. Определение оптимальных коэффициентов обратной связи

Наш многомерный линейный стационарный объект описывается векторно-матричным уравнением вида:

Необходимо синтезировать управление, обеспечивающее перевод объекта из некоторого начального состояния x(t0) = x0 в заданное конечное состояние x(tf) = 0 и минимизацию целевого функционала вида:

где Q и R – симметричные неотрицательно определённые диагональные матрицы (Q ).

В теории управления эта задача известна как линейно-квадратичная (ЛК) проблема оптимального управления.

Её решение позволяет определить параметры обратной связи (регуляторов), обеспечивающей наилучшие процессы в смысле минимального значения функционала.

Решение ЛК-проблемы для стационарных систем может быть получено путём решения алгебраического матричного квадратного уравнения Рикатти вида:

где S – квадратная положительно определённая симметричная матрица.

В результате его решения находится оптимальное значение матрицы S* и матрицы оптимальных коэффициентов ОС:

Оптимальное уравнение формируется в виде:

т. е. в форме пропорциональной обратной связи по всем координатам вектора состояния.

Итак, требуется решить нелинейную векторно-матричную систему вида:

Решение системы можно получить итерационным способом, предварительно преобразовав её к линейной форме.

Для этого помножим второе уравнение слева на R:

Учитывая симметричность матриц S и R, его можно переписать в виде

В результате первое уравнение системы можно преобразовать к виду:

Определим матрицы Q и R, преобразовав  в

Отсюда находим

=> 

Т. к. R – скаляр и S – симметричная матрица, система уравнений примет следующий вид:

Произведём подстановку матриц A, B, S и Q.

3.3. Построение линий равного качества вблизи оптимума и гиперповерхность критериальной функции

Скрипт в Matlab:

% Формируем ДУ 2 порядка

function out = du(t, params)

a0       = 0.5;

A        = [0 1; -a0 -0.8];

B        = [0; a0];

k0       = params(4);

k1       = params(5);

U        = -k0*params(1) - k1*params(2);

out      = zeros(5,1);

out(1:2) = A*params(1:2) + B*U;

out(3)   = params(1)^2 + U^2;

out(4:5) = 0;

% Формирование значений матриц

[k0, k1] = meshgrid(0:.1:5);

% Время интегрирования

T  = [0 10];

% Начальные условия

X0 = [2; 0];

J0 = 0;

for i=1:length(k0)

for j=1:length(k1)

[t, out] = ode45(@du, T, [X0(1); X0(2); J0; k0(1,i); k1(j,1)]);

J(i, j)  = out(end, 3);

end

end

figure

mesh(k0, k1, J)

xlabel('k0')

ylabel('k1')

zlabel('J')

figure

contour(k0, k1, J);

xlabel('k0')

ylabel('k1')

Рис. 3.1. Гиперповерхность критериальной функции

Рис. 3.2. Линии равного качества

3.4. Сравнение процессов в разных точках по интегральному и прямым показателям качества

Выберем одну линию равного качества (J = 10) и несколько пар оптимальных коэффициентов (рис. 3.3).

Рис. 3.3. Значения оптимальных коэффициентов для J = 10

Рассмотрим переходные процессы при данных коэффициентах.

На рис. 3.4 представлена схема в Simulink.

Рис. 3.4. Схема в Simulink

1)  Переходный процесс при k0 = 0.5, k1 = 1.6

Рис. 3.5. Переходный процесс при k0 = 0.5, k1 = 1.6

Длительность переходного процесса tпп – 5 секунд.

2)  Переходный процесс при k0 = 2.6, k1 = 2.6

Рис. 3.6. Переходный процесс при k0 = 2.6, k1 = 2.6

Длительность переходного процесса tпп – 2.5 секунды.

3)  Переходный процесс при k0 = 4, k1 = 0.6

Рис. 3.6. Переходный процесс при k0 = 4, k1 = 0.6

Длительность переходного процесса tпп – 5 секунд.

Перерегулирование – 0.31.

4)  Переходный процесс при k0 = 2.6, k1 = 0.2

Рис. 3.7. Переходный процесс при k0 = 2.6, k1 = 0.2

Длительность переходного процесса tпп – 5.8 секунды.

Перерегулирование – 0.32.

Из полученных графиков видно, что при равенстве интегрального показателя качества прямые показатели различны. Причём процесс может быть как периодическим, так и апериодическим.

3.5. Исследование влияния на критерий качества и переходный процесс дискретности регулятора

Объект управления описывается линейным векторно-матричным уравнением вида:

Критерий оптимальности:

Для каждого из участков траектории можно получить следующие рекуррентные формулы для   вычисления оптимальных коэффициентов KN-j, вспомогательной матрицы PN-j, управления u(N-j)  и критерия оптимальности JN-j:

При

При

Рассчитаем матрицы  и  для нескольких значений периода дискретизации.

Скрипт в Matlab:

T0 = [0.1 0.5 1];

a0 = 0.5;

A  = [0 1; -a0 -0.8];

B  = [0; a0];

for i=1:length(T0)

Ad = eye(2);

Bd = eye(2)*T0(i);

for j=1:100

Ad = Ad + A^j*T0(i)^j/factorial(j);

Bd = Bd + A^j*T0(i)^(j+1)/factorial(j+1);

end

T0(i)

Ad

Bd = Bd*B

end

 

С ростом периода дискретизации уменьшается значение критерия и колебательность переходного процесса.

 

Похожие материалы

Информация о работе