Линейный оператор. Характеристический многочлен оператора. Характеристическое уравнение оператора

ТЕСТ ПО СОБСТВЕННЫМ ВЕКТОРАМ (10-е занятие)

1.  Линейный оператор  в базисе  имеет матрицу . Какие из перечисленных векторов будут собственными векторами оператора ? Какие у них собственные значения? а) ; б) ; в) ; г) таких нет.

2.  Линейный оператор  в базисе  имеет матрицу . Характеристический многочлен этого оператора имеет вид:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) другой ответ.

3.  Пусть  – комплексное линейное пространство и пусть линейный оператор  имеет характеристический многочлен . Собственными значениями оператора  будут следующие

Характеристическое уравнение оператора  выглядит так:

=0, а характеристическими числами будут корни, Если P= комплексным, то собственное значение только комплексные корни, какие из них – хз =) : а) 0; б) ; в) ; г) 2; д) 6; е) другой ответ.

4.  Пусть  – действительное линейное пространство и пусть линейный оператор  имеет характеристический многочлен . Собственными значениями оператора  будут следующие ( действительные числа, если правильно помню, то 2, ноль и корень из -1 не катят): а) 0; б) ; в) ; г) 2; д) 6; е) другой ответ.

5.  Характеристический многочлен некоторого линейного оператора имеет вид . Кратность его собственного значения  равна (4 по-моему, так как кратность равна степени скобки, если я хорошо слушаю лекции и запоминаю их) :

а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 4; е) 5; ж) другой ответ.

6.  Пусть кратность собственного значения  линейного оператора  равна 4. Количество линейно независимых собственных векторов с этим собственным значением может равняться: а) 0; б) 1; в) 2; г) 3; д) 4; е) 5; ж) другой ответ.

7.  Теорема 4.15. Пусть  – линейное пространство над полем Р. Если все характеристические числа линейного оператора  принадлежат полю Р, то в  существует базис, состоящий из собственных и присоединенных векторов оператора f, причем каждому собственному значению в этом базисе соответствует столько собственных векторов и присоединенных к ним, какова кратность этого собственного значения (без доказательства).

Пусть кратность собственного значения  линейного оператора  равна 3 и пусть существует два линейно независимых собственных вектора с этим собственным значением. Базис линейного пространства , состоящий из собственных и присоединенных векторов оператора , содержит следующие векторы, соответствующие этому собственному значению:

а) три собственных; б) два собственных и один присоединенный; в) один собственный и два присоединенных; г) три присоединенных; д) другой ответ.

8.  Правило приведения квадратной матрицы

к диагональному виду над полем Р

СМ пример внизу с.10

1. Составляем характеристический многочлен матрицы А и находим его корни. Если какой-либо из них не принадлежит полю Р, то А к диагональному виду не приводится.

2. Если все характеристические числа принадлежат полю Р, то для кратных корней проверяем условие ,   н – размерность матрицы = количеству (кратности)  лямд (корней)   (для однократных оно выполняется всегда). Если для какого-то из корней ,    не выполняется, то А к диагональному виду не приводится.

3. Если для каждого из собственных значений условие ,    выполняется, то А к диагональному виду приводится. Записываем этот диагональный вид – матрицу , располагая на ее главной диагонали собственные значения  в произвольном порядке, причем каждое из значений повторяем столько раз, какова его кратность.

4. Записываем матрицу Т, приводящую А к диагональному виду, – матрицу перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов, сохраняя порядок, установленный матрицей .

Линейный оператор  в некотором базисе имеет матрицу А. Если этот оператор имеет собственные значения , ,  и , то: а) А приводится к диагональному виду( так как корни кратности 1 и для них всегда выполняется условие, но не учитывал, над каким полем) ; б) А не приводится к диагональному виду; в) для верного ответа не хватает информации.

9.  Линейный оператор  в некотором базисе имеет матрицу А. Если этот оператор имеет собственные значения  кратности 3 и , причем  (дано для 2, так как у корня =2 кратность больше 1, но не дана размерность матрицы А, а он равен сумме кратностей корней, т е 3+1=4 решаем и получаем), то: а) А приводится к диагональному виду; б) А неприводится к диагональному виду (4-2 =/= 3) ; в) для верного ответа не хватает информации.        

10.  Линейный оператор  в некотором базисе имеет матрицу А. Если этот оператор имеет собственные значения  кратности 3 и , причем , то (дано для 2, так как у корня =2 кратность больше 1, но не дана размерность матрицы А, а он равен сумме кратностей корней, т е 3+1=4 решаем и получаем)Ж

а) А приводится к диагональному виду (4-1 = 3) ; б) А не приводится