Представление форм булевых функций с использованием основных законов булевой алгебры

1. Представление форм булевых функций с использованием основных законов булевой алгебры

Необходимо отметить, что реализация конкретного устройства осуществляется в несколько этапов, а именно:

Рис. 1.

2.1 Представление заданной БФ с помощью:

a)  номеров наборов;

b)  таблиц истинности;

c)  СДНФ, СКНФ;

d)  диаграммы Вейча-Карно.

Задача 1.

Представить булеву функцию трех аргументов f(x₁,x₂,x₃) равную единице на наборах 0, 2, 3, 4, 6 и нулю на остальных наборах, в виде:

a)  номеров наборов;

b)  таблицы истинности;

c)  СДНФ, СКНФ;

d)  диаграммы Вейча-Карно.

Решение.

a)  f⁰(X₁,X₂,X₃) = 1,5,7        и         f¹ (X₁,X₂,X₃) = 0,2,3,4,6

b)  таблица истинности:

Таблица 1

№ набора X1 X2 X3 F(X1,X2,X3) 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 1 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 1 7 1 1 1 0

c)   СКНФ:     f⁰(X₁,X₂,X₃) =   СДНФ:   

d)   f¹(X₁,X₂,X₃) =

e)  Диаграмма Вейча-Карно для булевой функции f(x₁,x₂,x₃)

Рис. 1.

2. Минимизация форм представления булевых функций и их реализация в различных системах логических элементов

2.1.  Минимизация заданной БФ методом диаграмм Вейча-Карно:

Задача2.

Получить МДНФ и МКНФ булевой функции трех аргументов f(x₁,x₂,x₃) равную единице на наборах 0, 2, 3, 4, 6 и нулю на остальных наборах.

Решение.

Наборы в двоичном алфавите имеют вид 000, 010, 011, 100, 110.

Строим диаграмму Вейча-Карно. Строим контуры (1, 2), получаем МДНФ:

f¹(X₁,X₂,X₃) =

Рис.2. Диаграмма для булевой функции f(x1,x2,x3)

Аналогично для МКНФ: f⁰(X₁,X₂,X₃) =  

Задача 3

Имеем техническое устройство, 4-х точках которого установлены термодатчики Х1, Х2, Х3, Х4, фиксирующие превышение температуры над установленными значениями. Нарушение функционирования устройства возможно при одновременном перегреве точек:

• 1,2,3,4 (набор 15);
• 3,4 (набор 12);
• 1,2,3 (набор 7);
• 2 (набор 2).

Невозможными являются две ситуации: номера наборов 3 и 14.

Решение.

1.  Составляем таблицу истинности.

Таблица 2

Номер набора Х4 Х3 Х2 Х1 Y 0 0 0 0 0 - 1 0 0 0 1 - 2 0 0 1 0 1 3 0 0 1 1 0 4 0 1 0 0 - 5 0 1 0 1 - 6 0 1 1 0 - 7 0 1 1 1 1 8 1 0 0 0 - 9 1 0 0 1 - 10 1 0 1 0 - 11 1 0 1 1 - 12 1 1 0 0 1 13 1 1 0 1 - 14 1 1 1 0 0 15 1 1 1 1 1

2. Строим диаграмму Вейча-Карно.

Рис.3.

3. Получаем функцию

4. Строим устройство

Рис.4.

2.2.  Структурная реализация минимизированной БФ в булевом базисе элементов и в базисах элементов И-НЕ, ИЛИ-НЕ и выбор оптимального варианта.

Задача 4.

Построить структурную схему узла, реализующего функции

f¹(X₁,X₂,X₃) =        и           f⁰(X₁,X₂,X₃) =

в булевом базисе элементов и в базисах элементов И-НЕ, ИЛИ-НЕ и выбрать оптимальный вариант.

Прежде чем приступить к решению данной задачи преподаватель должен напомнить обучаемым о функционально полных системах булевых функций, а также порядок синтеза комбинационных схем в базисе элементов И-НЕ и ИЛИ-НЕ:

Понятие о функционально-полной системе булевых функций

Каждой переключательной функции можно поставить в соответствие устройство – логический элемент. Набор ЛЭ, реализующий любую булеву функцию, называется функционально полным или базисом. Булев базис представляет собой операции НЕ, И, ИЛИ. При построении схемы логические операции заменяются соответствующими элементами. Существуют и другие функционально полные наборы ЛЭ. При помощи только элементов И-НЕ, а также только элементов ИЛИ-НЕ можно реализовать любую переключательную функцию. Поэтому они являются функционально полными и называются соответственно базис Шеффера и базис Пирса. Выбор этих базисов объясняется тем, что технология производства этих элементов является простой, надежной и дешевой. ЛЭ И-НЕ создаются по технологиям ТТЛ и МОП, а ИЛИ-НЕ по технологиям ЭСЛ и И²Л.

Для доказательства функциональной полноты базисов И-НЕ, ИЛИ-НЕ необходимо и достаточно реализовать в этих базисах операции инверсии, конъюнкции и дизъюнкции:

Рис.5.

Порядок синтеза комбинационных схем в базисе элементов

И-НЕ и ИЛИ-НЕ:

1. Известными методами получить МДНФ или МКНФ (для И-НЕ и ИЛИ-НЕ базисов соответственно).
2. Взять двойное отрицание от полученной МДНФ или МКНФ.
3. Раскрыть нижнее из отрицаний в соответствии с законом инверсий (правилом де Моргана), доведя его до отрицаний отдельных импликант.
4. По полученной формуле построить схему узла.

Главной задачей при этом является избавление в записи МНФ от конъюнкций и дизъюнкций соответственно.

Построить схемы в выбранных базисах.

Решение.

Рис.6.

Рис.7.

Задача 5.

Синтезировать структурную схему узла реализующего заданную функцию:

Таблица 3

Номера наборов Значение функции Базис 0,1,6,7,8,9 1 И-НЕ (Шеффера)

Решение.

Наборы в двоичном алфавите имеют вид 0000, 0001, 0110, 0111, 1000, 1001.

Строим диаграмму Вейча-Карно. Строим контуры (1, 2), получаем МДНФ:

f¹(X₁,X₂,X₃,Х₄) =

Рис. 8.

Структурная реализация минимизированной БФ в базисе Шеффера (элементов И-НЕ)

Рис. 9.