Устойчивость. Причины неустойчивости в инерционности некоторых элементов системы. Передаточная функция

Вопрос 8. Устойчивость.

Причины неустойчивости в инерционности некоторых элементов системы.

В усилителях с ОС с разделительными конденсаторами причина неустойчивости наоборот в форсирующих звеньях.

Применяются алгебраические и частотные методы определения устойчивости. Первые позволяют определять наличие корней с положительной вещественной частью по коэффициентам характеристического уравнения. Вторые методы позволяют судить об устойчивости по частотным характеристикам системы.

Для определения устойчивости системы нужно знать как изменяется выходные и промежуточные величины во времени. В математике такие задачи решаются с помощью диф уравнений. В тау их решают операторным методом, а для компактной записи дин свойств звеньев и всей системы пользуются понятием передаточной функции  (это отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях).

Система называется устойчивой, если ошибка ΔХ(t) при t→∞ стремится либо к нулю как в астатической системе либо к конечному значению как в статической системе.

По этому, чтобы исследовать устойчивость САУ надо найти как ошибка изменяется во времени.

Для нахождения изображения ошибки ΔХ(р) пользуются передаточной функцией по ошибке Wδ(p).

Передаточная функция

Корни характеристического полинома.

Устойчивость определяется по поведению ошибки во времени при отработки скачка.

Изображение единичного скачка  1/p, тогда

 

K(p) – полином  m – степени

D(p) - полином n – степени

Устойчивость определяется корнями полинома H(p), поэтому H(p) называют характеристическим полиномом, а уравнение H(p)=0 характеристическим уравнением.

Среди n корней всегда можно выделить 3 корня, определяющих вид переходного процесса.

1. 

Апериодическая устойчивость

Р1<0, P2<0, P3<0.

2. 

Апериодическая неустойчивость

Р1<0, P2<0, P3>0.

3. 

Колебательная устойчивость

Р1=-a1+jb1, P2=-a1-jb2, P3<0.

4. 

X2 (t)

ΔX (t)

Колебательная неустойчивость

P1

P2

P3

+j

t

Р1=-a1+jb1, P2=-a2-jb2, P3<0.

Необходимым условием устойчивости систем любого порядка является положительность коэффициентов характеристического уравнения. Различают достаточные и необходимые критерии устойчивости. Достаточное условие более сильное, т.е. оно выполняется , то система устойчива, а если выполняется необходимое условие, то система может быть как устойчивой, так и не устойчивой. Необходимое условие не выполняется – система не устойчива.

Если хотя бы один коэффициент характеристического уравнения меньше нуля, то система неустойчива.

Доказывают это обычно по теореме Безу: любой полином можно представить в виде произведения 2-х членов, в правой части которых стоит один из корней полинома.

Вещественные корни, если все корни меньше нуля то скобка больше нуля и при перемножении они дадут положительный коэффициент. Это говорит о том, что в системе не может быть апериодической неустойчивости.

Комплексные корни с положительной вещественной частью: коэффициенты характеристического уравнения могут быть больше нуля, поэтому положительность коэффициентов не может быть достаточным условием, а требует дополнительных исследований.

Частотный критерий устойчивости Михайлова.

Исследуется изменение аргумента H(jw) при изменении частоты 0≤ω<∞

Практически это изменение определяется графически по кривой Михайлова, которая представляет собой годограф H(jw), построенный на комплексной плоскости.

В начале определим чему равно изменение аргумента H(jw) для устойчивой и неустойчивой системы.

Для устойчивой ∆arg H(jw)=n∙π/2 0≤ω<∞

Для неустойчивой ∆arg H(jw)=(n-2m)π/2 0≤ω<∞

На границеуст

Неуст

Уст

Графически система с порядком n будет устойчива, если кривая Михайлова последовательно обходит n-квадрантов.

Вывод по критерию Михайлова: Устойчивость исследуется по комплексному числу H(jw) Оно позволяет исследовать устойчивость как замкнутых, так и разомкнутых систем.

Частотный критерий устойчивости Найквиста.

Этот метод был разработан для определения устойчивости усилителей. Этот метод позволяет по АФХ разомкнутого усилителя ( по частотным характеристикам ) определить устойчивость. Этот метод удобен для экспериментального определения устойчивости. Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по АФХ разомкнутой. Позволяет исследовать устойчивость только с помощью передаточной функции разомкнутой системы.

Строится АФХ- годограф комплексного коэффициента передачи, еа комплексной плоскости при изменении 0≤ω<∞.

АФХ строится с помощью алгоритмической формы комплексного числа или с помощью показательной формы комплексного числа.

						Данная АФХ устойчивой системы т.к. ∆arg f(jw)=0
				Данная АФХ неустойчива ∆arg f(jw)=-2π

 

Таким образом, формулировка критерия Найквиста: если АФХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1; j0), то замкнутая система устойчива, если охватывает то неустойчива. Ежели АФХ проходит через точку (-1), то замкнутая система находится на границе устойчивости.

Физическая трактовка критерия Найквиста: при сдвиге фаз на ПИ  ООС превращается в положительную.