Уравнения объекта управления в векторно-матричной форме. Математическая модель системы автоматики. Входной полезный сигнал на объект управления, страница 3

e(t) = С₀×g(t) + C₁/1!×(dg/dt) + C₂/2!×(d²g/dt²) + …

1)  Найдем точность при отсутствии возмущения:  g(t), f(t) = 0.

e_g(t) = С₀×g(t) + C₁/1!×(dg/dt) + C₂/2!×(d²g/dt²)

g(t) = 1(t);   dg/dt = 1;   d²g/dt² = 0.

Так как ускорение равно 0, то найдем коэффициенты по положению  С₀ и по скорости С₁.

Ф_e(s) =                                             

C_0g = Ф_e(0) = 0 – коэффициент позиционной ошибки.

 

C_1g =                 = 1 / 0,045 = 22,2 – коэффициент скоростной ошибки.

Таким образом, С₀ = 0, С₁ = 22,2  и точность будет равна

e_g(t) = 0×1(t) + 22,2×1= 22,2.

2)  Найдем точность при действии возмущения: g(t), f(t)  ¹ 0.

f(t) = f₀ = 1

Ф_F(s) = -[0,1×(0,25×s + 1)×(0,14×s + 1)×(0,03×s + 1)] / [(0,25×s + 1)×(0,14×s + 1)×

×(0,03×s + 1)×s + 0,045]

C₀ = Ф_F(0) = -0,1 / 0,045 =  -2,22

e_F(t) = C₀×f(t) =  -2,22×1 = -2,22.

e_S(t) = e_g(t) + e_F(t) = 22,2 - 2,22 = 19,98.

Таким образом, статическая точность нашей системы при отсутствии возмущения больше, чем при действии возмущения.

13

Построим переходный процесс в замкнутой системе с помощью моделирующей программы EMULATOR и определим точность (s% и   D) и  быстродействие (t_p) в исследуемой системе.

 

W₁ = 1 / (0,25×s + 1);  k₁ = 1; T₁ = 0,25 – апериодическое звено 1-го порядка (регулятор);

W₂ = 0,45 / (0,14×s + 1);  k₂ = 0,45;  T₂ = 0,14 – апериодическое звено 1-го порядка; 

W₃ = 1 / (0,03×s + 1);  k₃ = 1;  T₃ = 0,03 – апериодическое звено 1-го порядка;

W₄ = 0,1 / s;  k₄ = 0,1 – интегрирующее звено.

Переходный процесс в замкнутой системе, построенный методом моделирования, имеет вид:

Из графика следует, что точность  равна 0 (D = 0;  s% = -20,4%), а быстродействие t_p = 35,2 c.

Если сравнить фактические значения  t_p, s% и D с результатами косвенной оценки в пункте 11, то можно сделать следующие выводы:

1)  и в замкнутой, и в разомкнутой системах, статическая ошибка равна 0, а перерегулирования нет,  что говорит о том, что система не склонна к колебанию, а значит она более устойчива;

2)   в замкнутой системе переходный процесс движется быстрее, чем в разомкнутой.

14

Заменим исходный регулятор системы на пропорциональный, рассчитав коэффициент передачи из условий обеспечения устойчивости.  Пропорциональным регулятором является усилительное звено с коэффициентом усиления K, тогда наша разомкнутая передаточная функция W_раз будет иметь вид:

W_раз = K×W_э1×W₂ = K×[0,45 /(0,14×s +1)]×[1 / (0,03×s + 1)] × [0,1/s] =

= K×0,045 / [0,0042×s³ + 0,17×s² + s]

Составим характеристическое уравнение

D(s) = 0,0042×s³ + 0,17×s² + s + K×0,045.

Главный определитель Гурвица 3-го порядка имеет вид:

0,17          К×0,045              0

0,0042           1                    0                   = К×0,045×(0,17-0,000189×К)

   0               0,17            К×0,045 

Система устойчива, если определитель > 0, следовательно,

К×0,045 × (0,17 - 0,000189×К) >0

К×0,045  > 0 и  (0,17 - 0,000189×К) >0

К > 0                         0,000189×K <  0,17

K < 899,47

Система с пропорциональным регулятором  устойчива, если коэффициент усиления К будет принадлежать  интервалу   0 < K < 899,47.

15

Рассчитаем момент трогания системы с пропорциональным регулятором (время начала движения) при заданной величине возмущающего воздействия f₀.

 

Переходный процесс такой системы будет выглядеть следующим образом:

Из графика видно, что  временем начала движения является время t = 0,13 с.

Вывод:проанализировав исходную систему управления  с нетиповым регулятором  [W_рег = 1/(0,25×s + 1)] можно сказать, что, во-первых, она является устойчивой, что видно из построенной ЛАФЧХ разомкнутой системы. Во-вторых, несклонной к колебанию, о чем свидетельствуют рассчитанные по косвенным оценкам качества предполагаемые значения точности  (s% и   D). В-третьих, действие возмущения уменьшает статическую точность системы. Кроме того, была создана замкнутая система управления с пропорциональным регулятором, являющаяся устойчивой при коэффициенте усиления K Î (0; 899,47).

Список литературы:

1.  Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. Учебное пособие для вузов. – М.: Машиностроение, 1985. – 536 с.

2.  Задачник по теории автоматического управления / Под ред. А.С. Шаталова. М.: Энергия, 1979. – 540 с.

3.  Топчеев Ю.И., Цыпляков А.П. Задачник по теории автоматического регулирования. Учебное пособие для вузов. – М.: Машиностроение, 1977. – 593 с.

4.  Теория систем автоматического регулирования. Бессекерский В.А., Попов Е.А., издательство «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М.: 2002. – 768 с.