Парные линейные эконометрические модели. Диаграмма рассеяния величин. Выборочный коэффициент корреляции

Требуется изобразить поле корреляции, построить однофакторную эконометрическую модель, определив уравнение  регрессии и оценив с помощью метода наименьших квадратов (МНК) параметры модели, оценить тесноту связи и проверить значимость уравнения регрессии, исходя из предположений:

а) переменная x_i  объясняется переменной y_i;

б) переменная y_i  объясняется переменной x_i .

Таблица 1.1

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	1200	2000	2500	3100	3900	4300	5600	6800	7900	8200
yi	6	10	12	14	16	18	18	19	20	21

Решение. 1) Изобразим графически  поле корреляции (рис. 1.1).

 

 

1000     2000    3000    4000    5000    6000    7000     8000            x

Рис. 1.1. Диаграмма рассеяния величин x_i   и   y_i

2) По расположению эмпирических точек можно предполагать наличие линейной корреляционно-регрессионной зависимости, поэтому уравнение регрессии будем искать в виде линейного уравнения

                                         у ' = a₀ + a₁  х.                                         (1)

Согласно методу наименьших квадратов неизвестные параметры  a₀  и a₁  выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений у_i   от значений у'_i , найденных по уравнению регрессии (1), была минимальной:

                        S= S (у' _i   -  у_i)² = S (a₀ + a₁  х_i   -  у_i)²® min,                   (2)

с учетом этого параметры уравнения регрессии определяются следующим образом:                                           _ _                  _

                         a₁  = (S х_i у_i  - n x y) / (Sх_i ² - n x²) ,                                    (3)

_         _

                                                 a₀  = y - a₁  x.                                            (4)

Коэффициент регрессии a₁  показывает, на сколько единиц в среднем изменяется переменная у при  увеличении переменной х на одну единицу.

Для зависимости переменной y_i  от переменной x_i параметры уравнения регрессии определяем следующим  образом:

_  _                  _

                               а₁  = (S х_i у_i  - n x y) / (Sх_i ² - n x ²) .                           (5)

Вспомогательные расчеты представим в таблице 1.2.

_                                                            _

x  = S х / n =                                    .,  y = S у / n =

а₁  =                                                                                          

_         _

а ₀  = y - а₁  x  = 

То есть  уравнение однофакторной эконометрической модели зависимости времени разговора с менеджером  салона связи  y_i (в минутах) и стоимости покупки  x_i  (в  рублях) выглядит следующим образом:

                              у' _i  =                      .                                  (6)

Из полученного уравнения регрессии следует, что при увеличении стоимости покупки в салоне связи на 1000 рублей время разговора с менеджером  увеличивается на 1,8 минут (свободный член в данном уравнении регрессии не имеет реального экономического смысла).

Для зависимости переменной x_i  от переменной y_i  параметры уравнения регрессии определяем следующим  образом:

Таблица 1.2

i	xi	yi	xi2	yi2	xi yi	x'i	y'i	yi  - y'i	(yi  - y'i) 2	хi  - х'i	(хi  - х'i) 2	_    y'i  -y	_   (y'i  - y) 2	_ х'i  - х	_ (х'i  - х) 2
1	1200	6
2	2000	10
3	2500	12
4	3100	14
5	3900	16
6	4300	18
7	5600	18
8	6800	19
9	7900	20
10	8200	21
S	45500	154

_  _                 _

                              b₁  = (S х_i у_i  - n x y) / (Sу_i ² - n у ²) ,                          (7)

_       _

                                               b₀  = x - b₁ y.                                            (8)

b₁  =

b₀  =

То есть уравнение однофакторной эконометрической модели зависимости стоимости покупки в салоне связи  x_i  (в  рублях) от времени разговора с менеджером  y_i (в минутах) выглядит следующим образом:

                            х' _i  =                                  .                               (9)

Из полученного уравнения регрессии следует, что при увеличении времени разговора с менеджером  салона связи на 1 минуту  стоимость покупки увеличивается на 474,81 руб.

Сравнение коэффициентов уравнений (6) и (9) показывает, что  эти уравнения различны. На рис. 1.1 представим графики уравнений регрессии (6) и (9).

3) Оценим тесноту связи и качество полученных однофакторных эконометрических моделей.

Показателем тесноты связи является выборочный коэффициент корреляции (или просто коэффициент корреляции):

 

r = (n S х_i у_i  - S х_i S у_i )/ [Ö nSх_i ² – (S x) ² ·Ö nSу_i ² – (S у) ²].     (10)

Проверить значимость уравнения регрессии – значит, установить, соответствует ли полученная модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных для описания зависимой переменной.

Для этого определяют F – критерий Фишера-Снедекора, в случае парной линейной регрессии уравнение значимо на уровне a, если

F = [Q_R (n – 2)] / Q_е  > F _{a;1; n – 2} ,                        (11)

                             _

где Q_R  = S ( у' _i  – у) ²,    Q_е = S (у _i  – у' _i ) ²,

n – 2 –   число степеней свободы.

F _{a;1; n – 2}  –  табличное значение F – критерия Фишера-Снедекора, определенное на уровне значимости a при k₁ = m - 1 и k₁ =  n – m  степенях свободы (при парной линейной регрессии m = 2).

Одной из наиболее эффективных оценок адекватности регрессионной модели, мерой качества уравнения регрессии, характеристикой прогностической силы анализируемой  регрессионной модели является коэффициент детерминации (R² ). Его величина показывает, какая часть (доля вариации) зависимой переменной обусловлена вариацией объясняющей переменной. 0 £ R² ³ 1, чем  R² ближе  к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует эмпирические данные, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии и между переменными х и у  существует линейная функциональная зависимость. Если R² = 0, то вариация зависимой переменной полностью обусловлена воздействием неучтенных в модели переменных, и линия регрессии параллельна оси абсцисс. В случае парной линейной регрессионной модели коэффициент детерминации равен квадрату коэффициента корреляции:

                                          R² = r².                                              (12)

а) Оценим тесноту связи  однофакторной эконометрической модели зависимости времени разговора с менеджером  салона связи  y_i (в минутах) и стоимости покупки  x_i  (в  рублях) – (6):

r =

Полученное значение линейного коэффициента корреляции свидетельствует о  том, что связь между факторами «стоимость покупки» и время разговора с менеджером» тесная  и прямая.

Проверим значимость уравнения регрессии (6) с помощью F – критерия Фишера-Снедекора:

                      F = [ Q_R (n – 2)] / Q_е  > F _{a;1; n – 2} ,                       

                                    _

Q_R  = S ( у' _i  – у) ²   =             ;     Q_е = S (у _i  – у' _i ) ²  =            ;

F =

Табличное значение критерия Фишера-СнедекораF _{a;1; 8} = 5,32 (при уровне значимости a = 0,05) и  F _{a;1; 8} = 11,26 (при уровне значимости a = 0,01), то есть условиеF  > F _{a;1; n – 2}  выполняется, и  уравнение регрессии (6) значимо.

Оценим качество уравнения регрессии(6) с помощью коэффициента детерминации (R² ).

                                          R² = r²,

R² =    

Полученное значение коэффициента детерминации свидетельствует об адекватности уравнения регрессии (6) эмпирическим данным и возможности использования полученной эконометрической модели зависимости времени разговора с менеджером  салона связи  y_i (в минутах) от стоимости покупки  x_i  (в  рублях) в прогнозных целях.

б) Оценка тесноты связи  однофакторной эконометрической модели