Параметры генератора и системы. Устойчивость системы на основе характеристического уравнения по критерию Гурвица

Задача №2

Исходные данные

Рисунок 1 расчетная схема к задаче №1

Параметры генератора и системы:

Необходимо:

Проанализировать устойчивость системы по кроням характеристического уравнения.

Определить устойчивость системы на основе характеристического уравнения по критерию Гурвица.

Провести анализ устойчивости системы по критерию Михайлова.

I. Анализ устойчивости системы по корням характеристического уравнения.

Для решения этой задачи целесообразно привести исходную схему к эквивалентному виду.

Рисунок 2. Эквивалентный вид расчетной схемы.

Если не учитывать переходные процессы в обмотке возбуждения генератора, но учесть демпфирующие моменты, дифференциальное уравнение относительно Dd имеет вид:

=

где TJ - постоянная инерции; Pd - коэффициент демпфирования

Коэффициент уравнения с1 определяется исходя из соотношения

=

где Eq - синхронная ЭДС; Uc - напряжение системы; d - угол между векторами Eq и Uc. Значение XdD  определяется по формуле:

=

где Xc - расчетное эквивалентное сопротивление системы; Xd - синхронное индуктивное сопротивление генератора

по продольной оси.

Тогда характеристическое уравнение имеет вид:

=

Определив значения корней характеристического уравнения на основе теоремы Ляпунова можно судить об

устойчивости системы.

Для этого необходимо расчитать значение эквивалентного сопротивления системы Xc, которое соответствует диагональному элементу матрицы узловых сопротивлений Zy,   Xc=Zy44, так как генератор подключен к узлу 4.

Матрица узловых сопротивлений Zy, обратная по отношению к матрице узловых проводимостей Yy, поэтому выполняется соотношение

=

где

единичная матрица;

=

Матрица узловых сопротивлений.

Отсюда следует матричное уравнение для определения элемента Zy44

=

При решении данной системы уравнений воспользуемся результатами расчета узловых напряжений методом Гаусса из п. 3 задачи 1. Поскольку матрица коэффициентов одинакова - Yy, заменим вектор неизвестных UD на столбец Zyi4 а столбец свободных членов J - на столбец единичной матрицы. Тогда все преобразования до четвертого ключевого уравнения не изменятся.

Запишем преобразованную систему, начиная с третьего ключевого уравнения:

ZD14         -0.247  ZD24                                    -0.137 ZD44                               =  0

ZD24           -0.255 ZD34      -0.357 ZD44                              =  0

ZD34      -0.461 ZD44                               =  0

5.244 ZD44      -3.333 ZD54     = 1

-3.333 ZD44       3.333 ZD54     =  0

Завершим прямой ход Гаусса:

ZD14      -0.247  ZD24                                    -0.137 ZD44                              =  0

ZD24             -0.255 ZD34    -0.357 ZD44                             =  0

ZD34    -0.461 ZD44                              =  0

ZD44        -0.636 ZD54  =  0.191

1.215 ZD54  =  0.636

Переведем Хс и Тj в отностиельные единицы:

=

об/мин или

об/с

синхронная угловая частота

рад/с

рад

Определим значение коэффициента с1

=

Найдем корни характеристического уравнения

=

Согласно теореме Ляпунова система является статически устойчивой, поскольку оба корня содержат отрицательную вещественную часть.

II. Анализ устойчивости системы по корням характеристического уравнения на основе критерия Гурвица.

Проведем анализ статической устойчивости исследуемой системы. При этом учтем не только демпфирующие моменты, но и переходные процессы в обмотке возбуждения генератора.

В этом случае характеристическое уравнение будет иметь третий порядок:

=

=

где Tj - постоянная инерции генератора; Td' - переходная постоянная времени генератора по продольной оси; Pd - коэффициент демпфирования.

Отыскание корней характеристического уравнения 3 и выше порядка представляет большие трудности. Однако для суждения об устойчивости системы достаточно знать, что все корни расположены в левой полуплоскости комплексной плоскости, т.е. имеют отрицательную вещественную часть.

Критерий Гурвица, позволяющий судить о наличии отрицательной вещественной части всех корней характеристического уравнения является алгебраическим критерием.

Проведем анализ устойчивости по критерию Гурвица. Значение с1 возьмем из п.1 задания, с2 рассчитаем по формуле:

=

где Xd' - переходное реактивное сопротивление генератора по продольной оси

Переходная постоянная времени генератора Td' рассчитывается по формуле