Понятие алгоритма. Блок-схема алгоритма. Численные методы вычисления определённых интегралов, страница 2

Для определения приращения (производной от значения функции в конце шага) в начале значение функции в конце шага определяют ориентировочно.

1.

2.

3.

Начальные условия: h, R, L, C, E, I = 0, Q = 0, dI₀ = 0, dQ₀ = 0.

2.

 ,

 ,  ,

3.

 ,

 ,  ,

МЕТОД ЭЙЛЕРА-КОШИ С ИТЕРАЦИЕЙ

R ~ h³

Если две итерации, то имеем метод Эйлера-Коши второго порядка. Выполняя итерации, мы приближаемся к истинному значению функции.

МОДИФИЦИРОВАННЫЙ МЕТОД ЭЙЛЕРА-КОШИ

R ~ h³

МЕТОД ТРАПЕЦИЙ

Приращение на шаге вычисляется как среднеарифметическое приращений, полученных прямым и обратным методом Эйлера.

МЕТОД БАШАРИНА

ПРИМЕР

В методе Башарина приращения каждой последующей функции системы уравнений вычисляется с учетом приращений ранее вычисленных функций.

ПРОБЛЕМА ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО БАЛАНСА

ПРИ ЧИСЛЕННОМ ИНТЕГРРОВАНИИ

Уравнения законов электротехники получены исходя из закона сохранения энергии:

                                                                                             (1)

W_L – энергия электромагнитного поля в индуктивности;

W_С – энергия электромагнитного поля в конденсаторе;

W_R – энергия тепловых потерь в резисторе;

W_Е – энергия источника питания.

Продифференцируем по времени и получим уравнение баланса мощностей:

                                                                                                          (2)

Возьмем производную:

                                                                                 (3)

Полученное выражение подставляем во второй закон Кирхгофа и делим  на I:

Проблема энергетического баланса возникает из-за появления ошибки ξ:

                                                                                             (4)

Эта ошибка не отражается в уравнении баланса мощности (2) и в уравнении (3), т.к. производная от постоянной величины равна 0.

При решении уравнений (2) и (3) с некоторой постоянной ошибкой ошибка по энергии в уравнении (4) будет меняться, т.е. увеличиваться, т.к. интеграл от постоянной величины есть линейная функция. Таким образом, ошибки численных методов приводят к нарушению энергетического баланса и накоплению ошибки по энергии.

ПРИМЕР. Идеальный колебательный контур:

НУ: i = 0, U = U₀ = E.

L, C, I = 0

Рассмотрим энергию в начале и конце шага интегрирования и определим ошибку по энергии на шаге.

Энергия в начале шага:

Энергия в конце шага:

ξ_w – ошибка по энергии на шаге.

ξ_w ~ h²

Таким образом, вводя коррекция по энергии на каждом шаге интегрирования, мы можем скорректировать погрешность (т.е. уменьшить), вносимую численным методом Эйлера. Это прямой метод.

Обратный метод

ε_W < 0

RLC – контур

Энергия теряемая:

Энергия выделенная источником:

Точность метода дифференциальных уравнений.

Типы ошибок

Полная ошибка дифференциального уравнения на i шаге складывается из ошибки вычисления, которая определяется разрядной сеткой машины и реализации нематематических операций с помощью арифметических действий, и ошибки накопления, которая равна полной ошибки на предыдущем шаге.

где  - ошибка аппроксимации;

 - ошибка вычислений;

 - ошибка накопления.

Ошибку можно оценить, разложив функцию в ряд Тейлора:

 ~ h²

АНАЛИЗ СТАТИЧЕСКИХ РЕЖИМОВ. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ

СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

По окончании переходного процесса в динамическом объекте он переходит в определённое устойчивое состояние (статический режим). Статический режим можно рассчитать, интегрируя исходную систему обыкновенных дифференциальных уравнений на большом интервале времени.

                                                                                                                   (1)

Этот метод называется методом установления.

В статическом режиме производные переменных по времени равны 0 и отсутствуют меняющиеся по времени внешние воздействия.

                                                                                                                          (2)

Таким образом, одновариантный анализ статических режимов динамических объектов, описываемых системой уравнений (1), сводится к решению системы алгебраических уравнений (2) n-порядка.

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ

АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ МЕТОДОМ ГАУСА

В матричной форме:

где  - матрица коэффициентов размерностью n x n;

 - n-мерный вектор переменных;

 - n-мерный вектор свободных членов.

МЕТОД ГАУСА

Относится к прямым (точным) методам.

Основан на последовательном исключении неизвестных до тех пор, пока не останется только одно уравнение с одной неизвестной в левой части. Затем это уравнение решается, т.е. находится неизвестная. Полученное значение неизвестной подставляется в предыдущее уравнение с двумя неизвестными и находится следующая неизвестная и т.д.

Таким образом, вычислительный процесс при использовании метода Гауса может быть разбит на два этапа:

- прямой ход;

- обратный ход.

1. i = 1…n, j = 1…n, a_ij ,, b_i ,.

2. Прямой ход.

В результате выполнения прямого хода матрица коэффициентов преобразуется к треугольному виду. Выполняется за n – 1 стадию и на каждой k стадии исключается очередная неизвестная Х_к.

где i – порядковый номер строки;

j – порядковый номер столбца.

3. Обратный ход.

Состоит из n – 1 стадий.

ПРИМЕР

1. Прямой ход.

m₂₁ = 2 / 2 = 1; m₃₁ = 4 / 2 = 2; m₄₁ = 6 / 2 = 3.