Магнитное поле в веществе. Основные определения и формулы. Токи намагничивания. Молекулярные токи

МАГНИТНОЕ ПОЛЕ В ВЕЩЕСТВЕ

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

Если в магнитное поле ввести то или иное вещество, поле изменится, т.к. каждое вещество является магнетиком, т.е. способно под действием магнитного поля намагничиваться (приобретать магнитный момент).

B! = B!₀ + B!′, где B^!₀  первичное поле, B^!′  поле, которое создает вещество. При наличии магнетика справедлива теорема Гаусса: "∫ BdS^{! !} = 0, т.е. линии вектора _B^! и при наличии вещества остаются всюду непрерывными. Намагниченность: m , где ∆V  физически бесконечно малый объем в окрестности данной точки, _p^!_m  магнитный момент отдельной молекулы.

J! = _{n p}^!_m , где n  концентрация молекул, _p^!_m  средний магнитный момент одной молекулы.

Молекулярные токи  элементарные токи, связанные с каждой молекулой.

Токи намагничивания I′  

Токи проводимости I токи, текущие по проводникам, и связанные с перемещением в веществе носителей тока.

Циркуляция вектора _J^!: Для стационарного случая циркуляция намагниченности _J^! по произвольному контуру Γ равна алгебраической сумме токов намагничивания  I′, охватываемых контуром Γ : "∫ Jdl^{! !} = I′ , где I′ = _∫ ^!jdS^!, интегрирование проводится по произвольной поверхности,

«натянутой» на контур Γ .

∇×! !J = ^!j′  дифференциальная форма уравнения циркуляции вектора J^!: ротор намагниченности _J^! равен плотности тока намагниченности в той же точке пространства.

Вектор H^! :

Теорема о циркуляции вектора _H^! (для магнитного поля постоянных токов): Циркуляция вектора _H^! по произвольному замкнутому контуру равна алгебраической сумме токов проводимости, охватываемых этим контуром: "∫ Hdl^{! !} = I .

∇×! H! = ^!j  дифференциальная форма теоремы о циркуляции вектора H^! , т.е. ротор вектора _H^! равен плотности тока проводимости в той же точке вещества.

Связь между векторами _J^! и _H^! :

J! = χH! , где χ - магнитная восприимчивость.

Для парамагнетиков χ> 0, J^! ↑↑ H^! , для диамагнетиков χ< 0, J^! ↑↓ H^! , для ферромагнетиков зависимость _{J H}^{! !}( ) нелинейная, а также наблюдается гистерезис, т.е. зависимость _J^! от предыстории магнетика.

Связь между :

B! = µµ₀H! , где µ≡ +1 χ  магнитная проницаемость среды.

Парамагнетики: µ> 1, диамагнетики: µ< 1.

Ферромагнетики  твердые вещества, которые могут обладать спонтанной намагниченностью, т.е. намагничены уже при отсутствии внешнего магнитного поля.

В единице объема ферромагнетика выделяется теплота Q_ед, численно равная «площади» петли гистерезиса: Q_ед = "∫ HdB = S_n .

Температура или точка Кюри  температура при которой ферромагнитные свойства исчезают (температура ферромагнитно - парамагнитного перехода).

ЗАДАЧИ

Магнитная индукция:

1. По оси длинного полого цилиндра натянута нить, заряженная равномерно с линейной плотностью λ. Цилиндр вращается вокруг своей оси с угловой скоростью ω. Определить индукцию магнитного поля в материале цилиндра, вне его и внутри полости (вдали от стенок цилиндра), если цилиндр: 1) металлический и немагнитный; 2) диэлектрический с диэлектрической проницаемостью ε.

Решение:

1) цилиндр  проводник.

На его внутренней поверхности радиуса r₁ и внешней поверхности радиуса r₂ появляются индуцированные заряды с плотностью σ₁ и σ₂ . Величина этих зарядов на всей поверхности совпадает с величиной заряда на нити:

q = −σ π σ π λ₁⋅2 rl₁ = ₂ ⋅2 r l₂ = l , где 2πrl₁  площадь внутренней поверхности, 2πr l₂  площадь внешней поверхности, λl  заряд на нити,

т.е. σ1 = 2πλr1 , σ2 = 2πλr2 , σr = 2λπ .

При вращении цилиндра толщиной dl эти заряды образуют ток

                                                                     dI r dl                                                      dl .

На всей длине укладывается N = _dl^l таких токов.

Т.е. цилиндр, вращаясь, эквивалентен соленоиду по внешним и внутренним «виткам» которого протекают токи dI , но в разных направлениях, т.к. индуцированные заряды σ₁ и σ₂ имеют противоположный знак.

Поле внутри бесконечно длинного соленоида равно B = µ_0dI ^N_l , а вне



0 при  >  r  r₂ вне цилиндра 

соленоида равно нулю, т.е. B = ^_µ₀ ^λω2_π при  <  <   r₁              r r₂ в материале цилиндра

_

                                                                                 λω        λω

                                                                            _^µ_{0 2π} −^µ_{0 2π} = 0 при  <   r r₁ в полости

2) µ=1

По теореме Гаусса для D: D⋅2π λrl = l , где 2πrl  площадь цилиндрической поверхности, λl  заряд внутри поверхности; D = _2π^λ_r .

Eвнутри  = εε πεε ε εD0          = 2 λ0 r = ( −P1) 0 . диэлектрика

Но P = P_r = P_n =σ′  поверхностный связанный заряд, т.е. на внутренней поверхности плотность связанного заряда σ₁′ ₌ ^λε2⁽_πε⁻_r1¹⁾, а на внешней

σ2′ = λωε2πε( r−2 1).

dI = σ π′2 rdl = λωε( −1)dl .

               2πω          2πε

        0 при  >  r r₂ вне цилиндра

B = ^µ ε λω0 ⁽ πε⁻¹⁾ при  <  <   r₁            r          r₂ в материале цилиндра

         _      2

      _0 при  <   r r₁ в полости



                                0 при  >  r r₂ вне цилиндра



Ответ: 1) B = ^µ₀ ^λω2_π при  <  <   r₁              r r₂ в материале цилиндра

_

                                    λω        λω

                               _^µ_{0 2π} −^µ_{0 2π} = 0 при  <   r r₁ в полости

                                 0 при  >  r r₂ вне цилиндра

              2) B = µ ε λω0 ^{( −1)} при  <  <   r₁                            r  r₂ в материале цилиндра

                                       2_πε

                               _0 при  <   r r₁ в полости

 Циркуляция вектора H! :

2. Прямой длинный тонкий проводник с током I лежит в плоскости, отделяющей пространство, которое заполнено непроводящим магнетиком с проницаемостью µ, от вакуума. Найти магнитную индукцию B во всем пространстве как функцию