ЭДС индукции. Основные определения и формулы. Электромагнитная индукция. Закон электромагнитной индукции

ЭДС ИНДУКЦИИ

ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ФОРМУЛЫ

Электромагнитная индукция: в замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока (т.е. вектора _B^! ), охватываемого этим контуром, возникает электрический ток  индукционный ток.

Правило Ленца: индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать причине его вызывающей.

Закон электромагнитной индукции: ε_i = − ^d_dt^Φ  возникающая в контуре

ЭДС индукции.

Если замкнутый контур, в котором индуцируется ЭДС состоит не из одного витка, а из N витков и, если, магнитный поток, охватываемый каждым витком одинаков и равен Φ₁, то суммарный поток Φ сквозь поверхность, натянутую на данный контур: Φ = NΦ₁  полный магнитный поток или потокосцепление. εi = −N ddtΦ1 .

Изменение тока в контуре, которое ведет к возникновению ЭДС индукции в этом же контуре называется самоиндукцией.

Если в пространстве, где находится контур с током I , нет ферромагнетиков, то полный магнитный поток через контур пропорционален силе тока I : Φ = LI , где L  коэффициент пропорциональности  индуктивность контура.

Взаимная индукция:

Рассмотрим два неподвижных контура 1 и 2, расположенных достаточно близко друг к другу. Если в контуре 1 течет ток I₁, то он создает через контур 2 полный магнитный поток Φ₂, пропорциональный (при отсутствии ферромагнетиков) току I₁: Φ =₂ L I_{21 1}.

Аналогично, если в контуре 2 течет ток I₂, он создает через контур 1 полный магнитный поток: Φ =₁ L I_{12 2}.

Коэффициенты L₁₂ и L₂₁ называют взаимной индуктивностью контуров.

Теорема взаимности: при отсутствии ферромагнетиков коэффициенты L₁₂ и L₂₁ одинаковы: L₁₂ = L₂₁.

Взаимная индукция: при всяком изменении тока в одном из контуров в другом контуре возникает ЭДС индукции.

Согласно закону электромагнитной индукции, ЭДС, возникающие в контурах 1 и 2 равны, соответственно: ε₁ = − ^d_dt^Φ1 = −L₁₂ ^dI_dt² ,

ε2 = − ddtΦ = −L21 dIdt1 .

С учетом явления электромагнитной индукции, закон Ома для контура 1:

R I_{1 1} =ε₁ − L₁ ^dIdt¹ − L₁₂ ^dIdt² , где ε₁  сторонняя ЭДС в контуре 1 (помимо индукционных ЭДС), L₁  индуктивность контура 1.

Энергия магнитного поля:

Дополнительная работа, совершаемая сторонними силами против ЭДС самоиндукции в процессе установления тока: δA_доп = IdΦ .

При отсутствии ферромагнетиков контур с индуктивностью L, по которому течет ток I обладает энергией: W = ¹₂ LI² = ¹₂ IΦ = ^Φ_2L²  магнитная

W dV  энергия магнитного поля.

                объемная плотность магнитной энергии. Данное выражение справедливо лишь для случаев, когда зависимость _{B H}^{! !}( ) линейная, т.е. для пара- и диамагнетиков.

W ₌ ^{L I1 1}2 ² ₊ ^{L I2 2}2 ² + L I I_{12 1 2}  магнитная энергия двух контуров с токами; первые два слагаемых  собственная энергия, последнее слагаемое  взаимная энергия.

W dV dV dV  полевая трактовка энергии, где B₁  магнитное поле тока I₁, B₂  магнитное поле тока I₂.

ЗАДАЧИ ЭДС индукции, ЭДС самоиндукции:

1.  Провод, имеющий форму параболы y = kx² , находится в однородном магнитном поле _B^! , перпендикулярном плоскости параболы. Из вершины параболы перемещают поступательно и без начальной скорости перемычку с постоянным ускорением a. Найти ЭДС индукции в образовавшемся контуре как функцию времени.

Решение:

За время dt перемычка переместится на dy , и замкнутый контур получит приращение площади dS = 2xdy .

Если S^! ↑↑ B^! , то dΦ = BdS .

Поток Φ возрастает и индукционный ток I_и течет против часовой стрелки, порождая поле B^!_и ↑↓ B^! компенсируя изменение Φ .

Тогда εи = − ddtΦ = −B 2xdydt . Но dydt = v = at , x =   ky =  at2k2 .

Поэтому ε_и = −B⋅2at   ^at_2k² = −Ba ²_k^at².

Ответ: Ba       t².

2.  Плоская спираль с большим числом N витков, плотно прилегающих друг к другу, находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном в плоскости спирали. Наружный радиус спирали равен a. Магнитное поле изменяется со временем по закону B = B₀ sinωt . Найти амплитудное значение ЭДС индукции, наведенной в спирали.

Решение:

Выделим участок спирали толщиной dr . В нем dN = ^N_a dr витков по форме совпадающих с окружностью радиуса r .

Полный магнитный поток через этот участок спирали равен dΦ = B r dNπ ² = ^{B Nπ}a r dr² .

Полный        магнитный        поток        через        всю        спираль                           равен

Φ = ^∫₀a dΦ = B Nπ_a r₃3 ₀a=πNa₃ 2 B₀ sinωt.

Тогда       B   t и амплитуда ε_{и0 = −}^πNa₃ ²ωB₀.

Ответ: εи0 = −πNa3 2ωB0.

3.  По двум металлическим столбам, поставленным вертикально