Критерий Гурвица. Неустойчивость исходной системы. Критерий Михайлова. Кривая Михайлова исходной системы

3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

1.Критерий Гурвица:

> restart:

with(LinearAlgebra):                                                                                          b0:=17:b1:=19:b2:=34:b3:=2:b4:=34:b5:=2: c0:=22:c1:=9: d4:=b4+c0:d5:=b5+c1:d0:=b0:d1:=b1:d2:=b2:d3:=b3: H1:=d1;

M:=Matrix([[d1,d3],[d0,d2]]);

H2:=Determinant(M,  method=multivar);     

> M := Matrix(3,3,[[d1,d3,d5],[d0,d2,d4],[0,d1,d3]]);                             

H3:=Determinant(M);                      

>  M := Matrix([[d1,d3,d5,0],[d0,d2,d4,0],[0,d1,d3,d5],[0,d0,d2,d4]]);

H4:=Determinant(M);                       

> M := Matrix([[d1,d3,d5,0,0],[d0,d2,d4,0,0],[0,d1,d3,d5,0],[0,d0,d2,d4,0],[0,0,d1,d3,d5]]);

H5:=Determinant(M);

Полученные результаты говорят о неустойчивости исходной системы.

Подберем параметры таким образом, чтобы система оказалась устойчивой.

> restart:with(LinearAlgebra):

b0:=1: b1:=8: b2:=11: b3:=70: c1:=-5:b4:=30: c0:=-10:b5:=110:

d4:=c0+b4:d5:=c1+b5:d0:=b0:d1:=b1:d2:=b2:d3:=b3: H1:=d1;

>M := Matrix([[d1,d3],[d0,d2]]):

H2:=Determinant(M);                       

> M := Matrix(3,3,[[d1,d3,d5],[d0,d2,d4],[0,d1,d3]]):

H3:=Determinant(M);                       

>  M := Matrix([[d1,d3,d5,0],[d0,d2,d4,0],[0,d1,d3,d5],[0,d0,d2,d4]]):

H4:=Determinant(M);                       

> M := Matrix([[d1,d3,d5,0,0],[d0,d2,d4,0,0],[0,d1,d3,d5,0],[0,d0,d2,d4,0],[0,0,d1,d3,d5]]):

H5:=Determinant(M);                       

Полученная система устойчива (так как все определители Гурвица положительны).

2.Критерий Михайлова:

> restart:d0:=7: d1:=10: d2:=14: d3:=2: d4:=16: d5:=11:

plot([d1*w^4-d3*w^2+d5,d0*w^5-d2*w^3+d4*w,w=0..1.5]);

Рис. 1. Кривая Михайлова исходной системы (система неустойчива).

> plot([d1*w^4-80*w^2+100,1*w^5-d2*w^3+25*w,w=0..3.2]);

Рис. 2. Кривая Михайлова для устойчивой системы.

> plot([d1*w^4-80*w^2+100,1*w^5-d2*w^3+28*w,w=0..3]);

Рис. 3. Кривая Михайлова для системы, находящейся на границе устойчивости.

3.Критерий Найквиста

> restart:d0:=7: d1:=10: d2:=14: d3:=2: d4:=16: d5:=11:

c1:=8:b4:=14: c0:=2:b5:=3:

plot([(c1*(d1*w^4-d3*w^2+b5)+c0*w*(d0*w^5-d2*w^3+b4*w))/((d1*w^4-d3*w^2+b5)^2+(d0*w^5-d2*w^3+b4*w)^2),(c0*w*(d1*w^4-d3*w^2+b5)-c1*(d0*w^5-d2*w^3+b4*w))/((d1*w^4-d3*w^2+b5)^2+(d0*w^5-d2*w^3+b4*w)^2),w=-8..8]);

Рис. 4. Амплитудно-фазовая характеристика для исходной системы (согласно критерию Найквиста система неустойчива).

>  dn3:=100:b5:=200:c1:=-10:b4:=3:c0:=-5:dn0:=150:

plot([(c1*(d1*w^4-dn3*w^2+b5)+c0*w*(dn0*w^5-2*w^3+b4*w))/

((d1*w^4-dn3*w^2+b5)^2+(dn0*w^5-d2*w^3+b4*w)^2),(c0*w*(d1*w^4-dn3*w^2+b5)-c1*(dn0*w^5-d2*w^3+b4*w))/((d1*w^4-dn3*w^2+b5)^2+(dn0*w^5-d2*w^3+b4*w)^2),w=-11..11]);

Рис. 5. Амплитудно-фазовая характеристика устойчивой системы (об устойчивости системы судим по критерию Найквиста).