Ламинарное течение несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрической трубе. Построение математической модели процесса ламинарного течения несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрической трубе; п

Министерство общего и профессионального образования РФ

Тульский государственный университет

Кафедра прикладной математики и информатики

Лабораторная работа №3

Ламинарное течение несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрической трубе

Тула 2001

Ламинарное течение несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрической трубе

I. Цель работы

Построение математической модели процесса ламинарного течения несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрической трубе; получение аналитического решения поставленной задачи; проведения численных исследований.

II. Задание

1.  Построить математическую модель процесса ламинарного течения несжимаемой вязкой жидкости в цилиндрической трубе.

2.  Получить аналитическое решение задачи.

3.  Построить профиль скоростей течения в сечении трубы.

III. Теоретические сведения

Исследуем ламинарное течение в цилиндрической трубе радиуса а. Пусть вязкая несжимаемая жидкость течет вдоль трубы. Движение вязкой несжимаемой жидкости описывается системой уравнений, состоящей из уравнений Навье-Стокса и уравнения неразрывности:

 ;                                (1)

,                                                             (2)

где  - скорость жидкости; - давление; - плотность;  - кинематический коэффициент вязкости;  - коэффициент вязкости; - массовая сила, отнесенная к единице массы.

Будем полагать, что массовые силы отсутствуют, течение стационарно и в каждой точке скорость направлена параллельно оси трубы.

Для решения задачи воспользуемся цилиндрической системой координат  , , , причем, ось трубы примем за ось .

Граничные условия задачи (условия прилипания) имеют вид:

                                                          .                                                           (3)

Таким образом, уравнения  (1)-(3) представляют собой математическую модель задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе.

С учетом сделанных предположений запишем уравнения (1) и (2) в цилиндрической системе координат:

                                  (4)

.

Так как имеем  ;  , то система (4) принимает вид:

;    ;    ; .               (5)

Первые два уравнения системы (5) показывают, что  может зависеть только от . Последнее уравнение показывает, что есть функция только  и . Так как правая часть третьего уравнения не зависит от , то и левая часть не может зависеть от . Следовательно, .

                                           ,                                              (6)

где   и - давления в двух точках на оси , отстоящих одна от другой на расстоянии l соответственно.

Функция   удовлетворяет уравнению

                                         (7)

и граничному условию на стенке трубы, которое принимает вид

.                                                          (8)

Если , то уравнение (7) перепишем в виде  .

Интегрируя, получаем     .

Производя деление последнего уравнения на  и еще раз интегрируя по , находим:

.

Произвольные постоянные А и В определяются из граничного условия (8) и дополнительного условия, которое заключается в том, что скорость  остается ограниченной во всей рассматриваемой области течения.

Для выполнения дополнительного условия следует положить  А=0. Из условия (8) находим  . Тогда

.                                               (9)

Никакого другого решения задачи не существует. Действительно, положим

.

Подставим это выражение в уравнения (7) и (8). Получим, что функция  должна удовлетворять условию

, т. е. должна быть гармонической функцией и, кроме того, должна удовлетворять условию    . Но гармоническая функция достигает своего максимума и минимума на границе области определения. Следовательно, в данном случае  .

С учетом выражения (6) формула (9) принимает вид

                                               .                                                (10)

Отсюда видно, что распределение скорости подчиняется параболическому закону.

Рассмотренное течение называется течением Пуазеля.

Полученное решение задачи справедливо лишь для ламинарной формы течения. Определяющим фактором при переходе ламинарного течения в турбулентное  является число Рейнольдса, которое в рассматриваемом случае определяется следующим образом:

, где  - средняя скорость течения. Причем существует критическое течение , такое, что при    течение будет ламинарным, а при   течение будет турбулентным.

Движение жидкости будет ламинарным, если скорости течения достаточно малы, или диаметр трубы достаточно мал, или жидкость достаточно вязка.

Опытами установлено, что для течений в цилиндрических трубах критическое число Рейнольдса примерно равно 1000 – 2000.  

IV. Расчет