Логическая символика. Множества и отображения. Элементы комбинаторики. Правило произведения. Свойства числа сочетаний

КОНСПЕКТ ОПОРНЫХ ЛЕКЦИЙ

по курсу

ИЖЕНЕРНАЯ МАТЕМАТИКА

ЛЕКЦИЯ (вводная)

Выдающийся итальянский физик и астроном, один из основателей точного естествознания, Галилео Галилей (1564 - 1642гг.) говорил, что "Книга природы написана на языке математики". Почти через двести лет родоначальник немецкой классической философии Иммануил Кант (1742 - 1804гг.) утверждал, что "Во всякой науке столько истины, сколько в ней математики". Наконец, ещё через почти сто пятьдесят лет, практически уже в наше время, немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862 - 1943гг.) констатировал: "Математика - основа всего точного естествознания".

Приведенные высказывания великих ученых, без дополнительных комментариев, дают полное представление о роли и значении математики как в научно-теоретической, так и предметно-практической деятельности различных специалистов.

Любой матeматик должен очень много и упорно работать, чтобы овладеть хотя бы 5% современной математики, что указывает на огромный объем знаний накопленных современной математикой

ЛОГИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА

Для сокращения записи математических рассуждений целесообразно использовать наиболее простые математические символы заимствованные из математической логики.

Пусть a, b,¼- некоторые высказывания или утверждения, т.е. повествовательные предложения, относительно каждого из которых можно сказать  истинно оно (a=1) или ложно (a=0).

Запись `a означает "не a", т.е. отрицание a

Запись a Þ b означает: "из утверждения a следует утверждение b (символ импликации).

Запись a Þ b означает:  "утврждение a эквивалентно утверждению  b", т.е. из a следует b и из bследует a( - символ эквивалентности).

Запись aÙ b или a & b означает "a иb" (Ù или & - символ дизъюнкции = логический союз "и").

Запись a Ú b  означает "aили b" (Ú- символ конъюнкции = логический союз "или".

Запись " х ÎX a(x) означает:  "для всякого элемента х Î Х  истинно утверждение a(х) (" - квантор общности).

Запись $ хÎ Х a(х): означает" существует элемент х ÎХ такой, что для него истинно утверждение a(х)" ($- квантор существования).

Если элемент хÎХ, для которого истинно утверждение a(х) не только существует, но и единственен, то пишут: $! х ÎХ a(х).

Используя логическую символику сформулируем принцип математической индукции. Пусть a(n)- некоторое утверждение, имеющее смысл для всех n Î N. Введем множество А= {n ÎN|a(n)}, т.е. множество всех тех натуральных чисел, для которых утверждение a(n) истинно.  Тогда принцип  математической индукции можно сформулировать следующим образом:

((1 Î А) Ú (n Î N Þ (n+1)ÎA)ÞA = N (  *)

Так как запись a(n) означает, что утверждение a истинно для числа nÎ N, то утверждение (*) можно записать и иначе:

(a(1) Úa(n) Þa(n+1)) Þ"n Î N a(n)

Запишем отрицание высказываний: "х ÎХ a(х)  и $х ÎХ a(х).

Отрицание высказывания "х ÎХ a(х) имеет вид $х ÎХ a(х) ( существует элемент х ÎХ такой,  для которого утверждения a(х) ложно). Иначе говоря, для любого утверждение a  истинно следующее утверждение:

"х ÎХ a(х) Û$ х Î Х a(х). Аналогично  $х ÎХ a(х) Û"х Î Х a(х).

МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ

Под  множеством понимается любая свокупность объектов, называемых элементами множества.

Запись А ÌВ (А содержится в В) означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В, при этом А называют подмножеством множества В.

Объединение   множеств А и В - множество А ÈВ={x|xÎ A или хÎВ}

Пересечение множеств А и В - множество А Ç В = {x |xÎ A и хÎ В}

Разность   множеств А и В - множество А / В ={x | xÎ A и хÏ В}

Eсли, в частности А- подмножество некоторого универсального множества W, то разность W /А обозначается символом А и  называется  дополнением множества (до множества W).   Операция дополнения  обладает свойством рефлексивности: =А, а так же связана с отношением включения Ì и  операциями È и  Ç имеют место

Законы двойственности Моргана

1.  2.  3. ,  а так же

Законы дистрибутивности

2.  (А È В) ÇC= (АÇС) È (В Ç С)

3.  (А Ç В) ÈC = (А È С) Ç (В È С) обобщаются на случай произвольного