Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, страница 2

Матрица №1 l1=-1+j l2=-1-j		Матрица №3 l1=-7 l2=-1		Матрица №5 l1=j l2=-j		Матрица №7 l1=1+j l2=1-j
h	Результат	h	Результат	h	Результат	h	Результат
1.0	сходится	0.1	сходится	0.1	–	0.1	–
1.3	сходится	0.2	сходится	0.4	–	0.4	–
1.5	сходится	0.215	сходится	0.5	–	0.5	–
1.54	сходится	0.23	–	0.8	–	0.8	–
1.55	–	1	–	1.0	–	1.0	–

Значок ”~’’ означает,что метод сходится медленнее.

Значок ''-'' означает,что метод не сходится.

Вывод: В результате следует отметить, что для тестовой матрицы №1 критическим значением шага интегрирования оказалось 1,54,что практически в 7 раз превышает значение того же параметра для матрицы №3.Что касается матриц №№5,7, то для них данный метод оказался неприменим.

1д) НЕЯВНЫЙ МЕТОД ГИРА ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ.

Графики приведены для матрицы №1 с h=0.1 и h=1.0                   Порядок метода равен 2.

Матрица №1 l1=-1+j l2=-1-j		Матрица №3 l1=-7 l2=-1		Матрица №5 l1=j l2=-j		Матрица №7 l1=1+j l2=1-j
h	СХ.	h	СХ.	h	СХ.	h	СХ.
0.1	сходится	0.1	сходится	0.1	~	0.1	–
0.5	сходится	0.5	сходится	0.4	~	0.4	–
1.0	сходится	1.0	сходится	0.5	сходится	0.5	–
5.0	сходится	5.0	сходится	1.0	сходится	0.8	–
10.0	сходится	10.0	сходится	10.0	сходится	1.0	–

Значок ”~’’ означает,что метод сходится медленнее.

Значок ''-'' означает,что метод не сходится.

Вывод:В результате следует отметить,что для матриц №№1,2 метод является сходящимся вне зависимости от шага интегрирования.Для матрицы №5 данный метод не является ни сходящимся,ни расходящимся,что же касается матрицы №7,то для нее этот метод оказался неприменимым. Метод Гира широко применяется для жестких задач.

1е)Проведем аналогичное исследование для рабочих  матриц №№№23,25,27 :

Real	Ymage
0	0
0	0

Оценка проводилась на явном методе  Эйлера.

Таким образом, метод абсолютно устойчив при любом h, что и было получено экспериментально.

2.При интегрировании нескольких систем нелинейных уравнений обратить внимание на эффективность различных методов реализации схемы прогноз-коррекция.

Порядок системы уравнений 2; Интервал интегрирования [0;10];Шаг интегрирования 0,1            Шаг фиксации значений вектора состояния 0,5;               Начальное состояние (2)-(2);

 Исследование  рабочей матрицы №33:

Следует отметить,что наиболее эффективным методом реализации метода прогноз-коррекция оказался явный метод Эйлера. Критерием при этом являлось значение вектора состояния  на интервале интегрирования: чем меньше он был в конце интервала интегрирования, тем более эффективной является схема прогноз-коррекция. Наименее эффективной в данной задаче оказалась схема прогноз-коррекция явного метода Рунге-Кутты 4 порядка.

Исследование  рабочей матрицы №38:

Следует отметить,что наиболее эффективным методом реализации метода прогноз-коррекция оказался неявный метод Эйлера.Критерий тот же ,что и в предыдущем случае. Наименее эффективным оказался явный  метод Рунге-Кутты 4 порядка.

3. Исследовать поведение полной ошибки численного решения при интегрировании с постоянным шагом методами различного порядка. (Методы Эйлера, РК2 – РК4), т.е. получить зависимость максимальной погрешности решения задачи от порядка метода при условии постоянства шага интегрирования, и методами одного порядка при вариациях величины шага. Дать качественное описание поведения функции полной погрешности решения.

3а) Зависимость максимальной погрешности решения задачи от порядка метода при условии постоянства шага интегрирования

Тестовая матрица №3                                      Интервал интегрирования [0;10];

Шаг интегрирования 0,1                      Шаг фиксации значений вектора состояния 0,05;                                

Метод	Погрешность
Явный Эйлера	8E+00
Неявный Эйлера	1,2E+00
Явный Эйлера для СЛУ	6E-01
Рунге-Кутты 2-го порядка	5E-01
Рунге-Кутты 3-го порядка	9.5E-02
Рунге-Кутты 4-го порядка	2.0E-02

Вывод:В результате следует отметить ,что наименьшая погрешность получилась при использовании метода Рунге-Кутты 3-го и 4-го  порядков. Большая погрешность получилась при использовании явного метода Эйлера .

  3б). Зависимость максимальной погрешности решения задачи при использовании методов одного порядка при вариациях величины шага.

Метод Рунге-Кутты 2-го порядка                                       Тестовая матрица №3

Интервал интегрирования [0;8]                              Шаг фиксации значений вектора состояния 0,06

Шаг интегрирования	Погрешность
0.05	7E-02
0.1	4.5E-01
0.15	3E+00
0.25	6.5E+00
0.35	2.8E+01

Вывод: В результате следует отметить, что при использовании метода Рунге-Кутты большая погрешность получается уже при шаге интегрирования  0.15 

 Явный метод Эйлера                   Тестовая матрица №3                 Интервал интегрирования [0;8]

Шаг интегрирования	Погрешность
0.05	4.2E-01
0.1	2E+00
0.15	3.2E+00
0.2	5.6E+00
0.25	8.8E+00

Вывод: В результате следует отметить, что при использовании явного метода Эйлера максимальная погрешность в целом  растет не так быстро  как при использовании метода Рунге-Кутты. Таким образом сравнивая вышеуказанные исследования ,отметим , что при маленьком шаге интегрирования лучше использовать методы Рунге-Кутты.