Растяжение и сжатие. Основные понятия. Дифференциальная зависимость. Построение эпюры продольных сил

ГЛАВА 3.    РАСТЯЖЕНИЕ  И  СЖАТИЕ

3.1.  Основные понятия

Осевым (центральным) растяжением или сжатием называют такой вид нагружения бруса, при котором внутренние силы в поперечном сечении приводятся только к продольной силе N.

Рис.3.1

С

На растяжение работают тросы, линии высоковольтных передач, винты и болты. Сжатие возникает в колоннах, поддерживающих перекрытия, в фабричной трубе, в кирпичной кладке от собственного веса. Например, растяжение возникает в тросе ВС подъемника (рис. 3.1). Элементы фермы (жесткой   конструкции из прямолинейных стержней, соединенных на концах шарнирами) могут   быть растянутыми и сжатыми.

Условимся представлять брус в виде совокупности продольных элементов, параллельных оси бруса, имеющих бесконечно малые поперечные сечения. Эти элементы будем называть «волокнами».

 3.1.1.  Дифференциальная зависимость  между    и 

Рассмотрим стержень нагруженный  продольной нагрузкой q (рис.3.2 а). Выделим из стержня элемент длиной dz (рис.3.2 б). На него будут действовать нагрузка q и продольные силы: в левом сечении – N, в правом – (N+dN), заменяющие действие отброшенных частей бруса, где dN – приращение продольной силы на участке dz.

Рис. 3.2

Составим уравнение равновесия  для выделенного элемента:

откуда

                                                  (3.1)

Производная от продольной силы по длине бруса равна интенсивности распределенной нагрузкиq. По знаку производной можно судить о росте или убывании функции. Если 0, то продольная сила убывает. Зависимость (3.1) используется при проверке правильности построения эпюры .

3.1.2.  Построение эпюры продольных сил

Продольная сила Nв сечении численно равна алгебраической сумме проекций на ось Z всех внешних сил, включая и опорные реакции, действующие на отсеченную часть бруса, взятых со знаком плюс, если они направлены от сечения (растяжение), и минус – если к сечению (сжатие):

                                          (3.2)

Знак продольной силы  определяется по схеме: растяжение – со знаком «+» (рис. 2.2 а), сжатие – со знаком «–» (рис. 2.2 б).

Рис. 3.3

Пример 3.1.Для бруса (рис.3.4 а) построить эпюру продольных сил N.

1.  Определим реакцию заделки.

Рис. 3.4

2.  Разобьем брус на два участка, и применив метод сечений, найдем продольные силы на каждом из них, рассматривая равновесие отсеченной части. Во избежании ошибки следует внутреннее усилие принимать всегда положительным.

                                          Участок I     

На первом участке продольная сила постоянна и отрицательна.

Участок II         

q

На этом участке продольная сила изменяется по линейному закону.

при 

при 

По найденным значениям продольных сил на отдельных участках строим эпюру N (рис.3.4 б).

Примечание

1.   Для бруса, закрепленного с помощью заделки, для построения эпюры, не обязательно определение опорных реакций, если оставлять часть бруса, которая не закреплена.

2.   Знак усилия , получаемый из решения, позволяет установить  вид деформации  – растяжение или сжатие.

3.  Научастке I, где , эпюра N – прямая, параллельная оси ().

4.  Научастке II, где , эпюра N – наклонная прямая (N изменяется по линейному закону).

5.  В сечениях, где приложены внешние силы, внутренняя сила меняется скачкообразно, причем размер скачка равен соответствующей внешней силе. Так, скачок на уровне заделки характеризует значение реакции (Н=5 кН), скачок на свободном конце – значение внешней силы (F=3 кН).

3.2 . Напряжения в поперечных сечениях стержня

Вывод формул для напряжений в стержнях будем всегда проводить по такой схеме:

1. 

Статическая сторона задачи – запись интегральных уравнений равновесия (2.6);

2. 

Геометрическая сторона задачи – изучение деформаций на основе опыта и гипотез;

3.  Физическая сторона задачи определяется  законом Гука;

4.  Синтез – совместное решение полученных  уравнений.

Рассмотрим стержень, нагруженный силой F (рис. 3.5 а). Для произвольного сечения z (рис. 3.5 б) статическая сторона задачи выражается уравнением

                                                   (3.3) где А – площадь поперечного сечения бруса.

Рассмотрим модель стержня (рис. 3.5 в), на боковой поверхности которого нанесена ортогональная сетка из продольных и поперечных линий.

Рис. 3.5

После нагружения можно заметить, что поперечные линии смещаются вдоль продольной оси, оставаясь прямолинейными и перпендикулярными ей. Это подтверждает гипотезу плоских сечений Я. Бернулли:

сечения бруса, плоские и перпендикулярные его продольной оси до деформации, остаются плоскими и перпендикулярными оси в процессе деформации.

Продольные линии (волокна) удлиняются на одну и ту же величину