Геометрические характеристики плоских сечений. Статические моменты площади. Центр тяжести площади. Моменты инерции сечений

Страницы работы

17 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

ГЛАВА 6.ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ  ХАРАКТЕРИСТИКИ

  ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

6.1.  Статические моменты площади. Центр тяжести площади

Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение бруса), связанную с координатными осями Оx и Оy (рис. 6.1).

Рис.6.1

Выделим элемент площади dA с координатами х, у. Площадь сечения равна сумме элементарных площадок   

.                                                                  (6.1)

Статическим моментом сечения относительно данной оси называется взятая по всей его площади A cумма (интеграл) произведений элементарных площадок dA на их расстояния до этой оси.

Так статические моменты площади сечения относительно осей x и y определяются по формулам:

.                                    (6.2)

Статические моменты измеряются в единицах длины в кубе и выражаются в см3, м3. В зависимости от знаков координат они могут принимать положительные значения, отрицательные и равные нулю.

Пусть xc и yc – координаты центра тяжести фигуры (рис.6.1). На основании теоремы Вариньона (из курса теоретической механики) можно записать:

,   ,                                         (6.3)

где А- площадь фигуры.

Оси, проходящие через центр тяжести называется центральными. В этом случае

, тогда . Следовательно,  статические моменты относительно центральных осей равны нулю.

Если сечение можно разбить на простейшие составные части (прямоугольники, прямоугольники и т.п.), площади и положение центров тяжести которых известны, то статический момент площади всего сечения относительно любой оси (рис. 6.2) равен алгебраической сумме статических моментов составляющих фигур относительно той же оси:

                            (6.4)

Рис.6.2

По формулам (6.3) и (6.4) легко найти координаты центра тяжести сложной фигуры:

(6.5)

 
,

.

Для симметричных сечений определение положения центра тяжести значительно упрощается. При наличии двух или более осей симметрии (прямоугольник, двутавр, круг и т.д.) центром тяжести является точка пересечения этих осей. Если сечение имеет одну ось симметрии (швеллер, равнополочный уголок и т.д.), то для определения положения центра тяжести необходимо найти только одну координату – вдоль оси симметрии.

Пример 6.1. Определить положение центра  тяжести сечения (рис.6.3)

Решение. Сечение симметрично относительно оси у . Следовательно, центр тяжести С лежит на этой оси, т.е. координата хс=0, и остается найти координату ус. Все размеры показаны на рисунке в сантиметрах.

Рис.6.3

Разбиваем фигуру на два прямоугольника: первый – с центром тяжести С1 и площадью

Второй – с центром тяжести С2 и площадью

За вспомогательную ось принимаем центральную ось первого прямоугольника х1. Тогда статический момент его площади . Статический момент площади второго прямоугольника согласно формулам (6.3) составляет

.

Координата центра тяжести всего сечения согласно формулам (6.5):

Положительное значение свидетельствует о том, что центр тяжести С лежит выше оси х1.

Примечание. Заметим, что точка С лежит на прямой С1С2 соединяющей центры тяжести прямоугольников, и разбивает ее на отрезки обратно пропорциональные площадям:

6.2.  Моменты инерции сечений

Осевым моментом инерции сечения относительно данной оси называется взятая по всей его площади A сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний до этой оси.

Рис.6.4

Так осевые моменты инерции относительно осей х и у равны (рис.6.4).

.                                    (6.6)

Пусть r расстояние элементарной площади до точки О (рис. 6.4).

Полярным моментом инерции сечения относительно некоторой точки (полюса) называется взятая по всей его площади A сумма произведений элементарных площадок dA на квадраты их расстояний r до этой точки. Следовательно

.                                                 (6.7)

Как видно из рис. (6.4): , тогда

Следовательно,                         (6.8)

Полярный момент инерции  равен сумме осевых моментов инерции J и J, взятых относительно любой пары взаимно перпендикулярных осей x и y, проходящих через полюс О.

Отметим, что осевые и полярные моменты инерции всегда положительны.

Центробежным моментом инерции сечения относительно осей координат x и y называется взятая по всей его площади A сумма произведений элементарных площадок dA на их расстояния до этих осей:

.                                                  (6.9)

Моменты инерции выражаются в см4, м4 и т.д.

В зависимости от положения осей центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным или равным нулю. Так, например, центробежный момент сечения, показано

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
406 Kb
Скачали:
0