Теория функций комплексной переменной и операционное исчисление

Страницы работы

Фрагмент текста работы

Оглавление

1  Функции  комплексной переменной. ........................................................................................ - 2 -

1.1  Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения. ............................ - 2 - 1.2   Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра. ...................... - 3 -

1.3  Извлечение корня  n – ой  степени из комплексных чисел. ............................................. - 4 -

1.4  Множества комплексной плоскости. ................................................................................. - 5 - 1.5  Функции комплексной переменной. .................................................................................. - 6 -

1.6  Ряды в комплексной области. ............................................................................................. - 7 -

1.7  Определение основных элементарных функций. Формула Эйлера. ............................. - 9 -

1.8  Производная ФКП. Аналитические функции. Условия Коши – Римана. ................... - 11 -

1.9  Гармонические функции. ................................................................................................ - 13 -

Вопросы для самопроверки. ........................................................................................................ - 14 -

2  Интегральное исчисление функций комплексной переменной. ......................................... - 15 -

2.1  Интегралы в комплексной области. ................................................................................ - 15 - 2.4    Следствия интегральной формулы Коши. ..................................................................... - 18 - 2.5    Ряды Тейлора и Маклорена. ........................................................................................... - 19 -

2.7  Изолированные особые точки аналитической функции. ............................................... - 22 -

2.8  Бесконечно удаленная особая точка. .............................................................................. - 23 -

2.9  Вычет аналитической функции в изолированной особой точке. ................................. - 24 -

2.10  Применение вычетов к вычислению интегралов. (Основная теорема теории вычетов) . -

25 - 2.11   Вычет функции в бесконечно удаленной особой точке. ............................................. - 26 - Вопросы для самопроверки. ........................................................................................................ - 27 -

3.  Операционное исчисление. ...................................................................................................... - 28 -

3.1.  Интеграл Фурье .................................................................................................................. - 28 -

3.2.  Преобразование Лапласа и формула обращения ............................................................ - 30 -

3.3.  Основные определения операционного исчисления .................................................... - 32 -

3.4.  Основные свойства изображений и оригиналов.......................................................... - 34 -

3.5.  Основные теоремы операционного исчисления .......................................................... - 38 -

3.6.  Теоремы разложения .............................................................................................................. - 43 -

3.7.  Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами методами операционного исчисления ...................................................... - 45 -

3.8.  Изображение периодической функции ............................................................................. - 47 -

Вопросы для самопроверки. ........................................................................................................ - 49 -

Л И Т Е Р А Т У Р А.......................................................................................................................... - 50 -

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ и ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Функции  комплексной переменной.

     1.1  Множество комплексных чисел. Основные понятия и определения.

  Определение 1. Комплексным числом называется выражение z = x +iy, где  x, y ∈ℜ, а  i называется мнимой единицей и определяется следующим образом: i2 = −1. Число x называется действительной частью комплексного числа: x = Re z , yмнимой частью: y = Im z.    Два комплексных числа z1 = x1 + i y1 и z2 = x2 + i y2 называются равными, если их  действительные и мнимые части, соответственно, равны друг другу: z1 = z2 x1 = x2, y1 = y2 . Таким образом, одно комплексное равенство эквивалентно двум действительным. Комплексное число  z = x + i y равно нулю, если  x = y = 0. 

Суммой и произведением двух комплексных чисел называются комплексные числа  def                def              z1 + z2 =(x1 + x2) + i(y1 + y2); z z1 2 =(x y1 1 x y2    2) + i(x y1 2 + x y2 1) соответственно. 

Операции вычитания и деления определяются как действия обратные сложению и умножению, что приводит к следующему результату: 

                       z1 − z2 = (x1 − x2) + i⋅(y1 − y2) , zz12 = x x1 2x22 ++ y yy1 222 + ix y2 1x22 +− x yy1 222                                                                                                                                          . 

Таким образом, арифметические операции над комплексными числами производятся по обычным правилам действий с двучленами, с учетом того, что i2 = −1. Отсюда следует, что операции над комплексными числами подчинены обычным законам арифметики: коммутативности, ассоциативности и т.д.  

Комплексные числа заполняют всю плоскость XOY, которую называют в этом случае комплексной плоскостью.  Множество комплексных чисел, обычно, обозначают буквой Κ. Определение 2. Число  z = x iy называется комплексно сопряженным к  z.   

Определение 3. Величина mod z = z =    x2 + y2 называется модулем комплексного числа

Т.е. mod z  равен расстоянию  от начала координат до т. z. Нетрудно видеть, что z 2 = z z

 Примеры:  1) z = 32+43ii ; 2) Последовательность  {i n} ={i, 1,− −i,1, , 1,i − K}.     

Замечание. На множестве комплексных чисел не определено отношение ‘больше – меньше’.

Комплексные числа можно сравнивать между собой только по модулю.

      1.2   Комплексные числа в полярной системе координат. Формула Муавра.

В предыдущем параграфе было рассмотрено представление комплексных чисел в декартовой системе координат. Рассмотрим теперь комплексные числа в полярных координатах.               Как известно, декартовы координаты выражаются через полярные следующим образом:

     y                                                                  x = rcosϕ r 0                                  

                                                                                                  y = r⋅sinϕ π ϕ π−   ≤  <        .

                                                                Отсюда получаем: z = r⋅(cosϕ ϕ+ isin  )  −        

                  M(x, y) = M(r, φ)                    тригонометрическая форма  комплексного числа.

                                           .                                                                                                             r                   φ                         Здесь:   

r =модуль комплексного числаz −                                         x                               (таккак cosϕ ϕ+ isin   =        cos2ϕ ϕ+ sin=1).

Рис. 1                                      φ – аргумент комплексного числаφ = arg z.

Рассматривается два стандарта изменения φ: 0≤ <ϕ π π ϕ π2 и − < ≤ .  

Иногда приходится пользоваться понятием Arg z=ϕ π+ 2 n n, = 0, 1, 2,±       ± K.  

Ясно, что величина самого комплексного числа при этом никак не изменяется.          

arctg y , x > 0

                                                                                                                                      x

arctg y +π, x < 0, y ≥ 0

Формулы для стандарта  -π < φ ≤ π  имеют вид: ϕ= arg z =        x                             

arctg y −π,x < 0, y < 0

                                                                                                                                      x

                                                                                                                             приx              y              y

 (Для стандарта: 0 ≤ φ < 2π  формулы будут немного отличаться) Аргумент числа  z = 0  не определен

  Примеры: − 2 ; i ; 1 − i    3 .  {2, π ; 1, π/2 ; 2, −π/3 или 5π/3 } 

Рассмотрим произведение 2-х комплексных чисел: z1z2 = r1 r2(cosϕ1 + isinϕ1 )(cosϕ2 + isinϕ2 ) = = rr1 2(cosϕ ϕ1 cos 2 −sinϕ ϕ1 sin 2 + i(sinϕ ϕ1 cos 2 + sinϕ ϕ2 cos 1)) = rr1 2(cos(ϕ ϕ1 + 2) + isin(ϕ ϕ1 + 2)).

Т.е. модуль произведения комплексных чисел равен произведению их модулей, а аргументсумме аргументов. Отсюда следует формула Муавра:

                                                (cosϕ ϕ+ isin  )n = cosnϕ+ isinnϕ .            

      1.3  Извлечение корня  n – ой  степени из комплексных чисел.

n

По определению:( n c) = c. На множестве действительных чисел для однозначности вводится понятие

Похожие материалы

Информация о работе

Тип:
Методические указания и пособия
Размер файла:
598 Kb
Скачали:
0