Методика преподавания математики как наука. Научные методы познания в обучении математике. Содержание обучения математике в средней школе. Научные методы познания в обучении математики

1. МПМ как наука

Сущность МПМ.

Метод – способ дост-я цели обучения. Методика – совок-ть методов дост-я цели обучения.

МОМ отвечает на вопросы: Кого учить (какого возраста д.б. обучаемый мат-ке, с какого возраста следует обучать мат-ке, с какого возраста осущ-ть системат-е обучение мат-ки и т.д.)? Зачем учить (цели обучения мат-ки)? Чему учить (сод-ие, какие ЗУНы надо сформ-ть)? Как учить (методы, ср-ва, формы, приемы)?

ТиМОМ – наука  о мат-ке, как учебном предмете, и законом-х процесса обучения мат-ке уч-ся разных возрастных категорий.

Предмет МПМ дост-но сложная с-ма, явл-ся совок-ю комп-ов, отражается моделью, кот. предложил Пышкало.

Метод-ая модель обучения мат-ке.

Методы, цели, сод-е, формы, средства (все связаны друг с другом).

Цель МПМ – исслед-е комп-ов метод-ой с-мы и связи м/у ними.  Нельзя говорить только об обучении предмету без восп-я, поэтому предметом  обучения мат-ке – явл-ся не только обучение мат-ке, но и восп-е уч-ся, и общее развитие личности ср-вами предмета.

Стр-ра МПМ: развернутая область знаний, включающая МПМ в дошк-ых учр-ях, в нач-х школах, в ср-й, в высшей школах.

Сод-е МПМ: общая методика, частная методика.

Методы: наблюдение, эксп-т, изучение опыта, анкетир-е беседы, анализ.

Виды эксп-та: констатирующий (фиксир-е состояния проблемы), обучающий (возд-ие на уч-ся ср-вами и методами), контролирующий (констатация фактов).

Место ТиМОМ в с-ме наук: 

1) связь с философией: философия поставляет мат-ке методы научного познания: аналогия, обобщение, конкретизация, абстрагирование, основы метод-х иссл-й составляет сист-й подход.

2) с логикой: МПМ опирается на логику, обучая мат-ке, мы обучаем логике.

3) с мат-кой и историей мат-ки: развивается познавательная сфера и мат-я культура.

4) с психологией и педагогикой: методика опирается на достижения этих 2-х наук, связь проявл-ся в задачах развития и восп-я.

СВЯЗЬ: мат-ка поставляет исходный материал или мат-й материал для дидакт-й обработки, после чего педагогика и психология и логика возд-т на мат-й материал, и мы получаем учебный материал и метод-ю с-му обучения предмету.

Мат-й материал → уч. материал → метод. с-ма обучения мат-ки.

12. Методика изучения числ-х сс. в шк-ом курсе мат-ки.

Различные схемы развития понятия числа.

Понятие числа явл-ся стержневым понятием, служит фунд-том для изучения ф-ий, тожд-х преобр-й, Ур-й и т.д. Это фундам-ое понятие в мат-ке, не определяемое. Понятие числа возникло из практ-х потребностей людей. Надо было сравнивать различные мно-ва предметов, устанавливать отн-я м/у ними. Не всегда решение практ-х задач оказывалось успешным, поэтому сравнение предметных мно-в стало сводиться к сравнению и счету соотв-их чисел. Так появились числа и дроби.

Истор-ая послед-ть развития понятия числа N, 0 -> Q+ -> Q- -> R -> C

Сведения о числах и операциях над ними стали оформляться в мат-й теории во 2-й пол-не 17 в. В мат-й теории принята след-я послед-ть расс-мых мнов, она наз-ся логической N -> Z -> Q -> R -> C      (Q и  Y =R)

Послед-ть изучения чисел в шк-м курсе мат-ки

Используется истор-я схема развития понятия числа, т.к. понятие полож-й дроби доступнее для понимания уч-ся, чем понятие отриц-го числа.  В проге 1968 года была осущ-на попытка реализовать логич-ю схему развития понятия числа.

Послед-ть в изучении чисел в школьной мат-ке:

Нач-я школа (N ->  Q+  Натур-е числа и обыкн-е полож-е дроби)

5 класс (N ->  Q+  дроби обыкн-е и десятичные)

6 класс (N ->  Q+   ->Q-  ->Q обыкн-е и десятичные дроби)

8 класс (Q и Y=R даются опр-я рац-ным, иррац-ным и действ-ным числам)

10,11 –(C углубленный курс)

Общая метод-ая схема изучения числ-х мно-в.

Изучение числ-х мно-в в шк-м курсе мат-ки осущ-ся индук-но, соотв-но след-м этапам:

1. Подведение к восприятию нового числа. Суть: показать недост-ть известного числ-го мно-ва для решения практ-х и мат-х задач, тем самым обосновывается необх-ть расширения числ-х мно-в.

2. Введение понятия числа. Дается опр-е числа, запись числа, прочтение числа, геом-ая интерпретация. Уч-ся должны понимать, что любому числу соотв-т точка числ-й прямой, и должен отвечать, что не каждая точка числ-й прямой соотв-т изученному числу.

3. Изучение операций с числами и св-в операций.

4. Сравнение чисел. Сравнение чисел осущ-ся ч/з сравнение предметных мн-в (нач-я школа). Сравнение с помощью числ-й прямой (то число больше, кот. стоит правее). Сравнение чисел может осущ-ся с опорой на десятичный состав числа. Сравнение с опорой на счет (из 2-х чисел больше то, которое при счете наз-ся позже).

Традиц-е недост-и изучения числ-х сс.

1. Учитель не обращает внимания на пропедевтику изучения чисел.

2. Уч-ся не понимают идею развития числа.

3. Рез-том изучения чисел д.б. умение уч-ся охарак-ть число (см. общую метод. схему).

N .Любому натур-му числу соотв-ет точка числ-го луча. Не любой точке числ-го луча соотв-ет натур-ое число. Мно-во N чисел бесконечно, упорядоченно, есть начало. Это числа, кот. считают предметы.

Z. Каждому целому числу соотв-ет точка, но не каждой точке соотв-ет целое число. Мно-во бесконечное, отсутствует начальный и конечный элемент.

Q. Мно-во бесконечное, всюду плотное. Каждому числу соотв-ет точка, но не каждой точке соотв-ет число.

17. Мет-ка изучения Ур-й и нер-в в курсе мат-ки 10-11 кл

Опр-я различных кл. иррац-х и трансцен-х Ур-й и нер-в, кот. приводятся в шк-х учебниках обычно имеют вид: «Ур-е (или нер-во) наз-ся иррац-м (показ-ным и т.д.), если оно содержит неизвестное под знаком корня (в показателе степени и т.д.)». Несмотря на формальную расплывчатость, опр-я такого типа дост-ны для того, чтобы  указать некот. область, Ур-я или нер-ва из кот. решаются способами, изучаемыми при прохождении соотв-щей темы. Каждый простейший класс тесно связан с классом соотв-щих ф-й; по существу, формулы решений и исслед-е простейших Ур-й и нер-в опираются на св-ва ф-й. В начале изучения каждого простейшего класса уч-ся приходится преодолевать трудности, связанные с освоением специф-й символики, в частности узнавать новые формы записи чисел и числ-х областей, в кот. д.б. получен ответ к заданию. Значительно чаще, чем в предшествующей части курса, в решении Ур-й и нер-в испол-ся неравнос-е преобр-я, широко испол-ся подстановки. Поэтому весь материал требует в еще большей мере, чем изучение квадр-х Ур-й, достаточной логич-й грамотности уч-ся.

Специфика иррац-х Ур-й: здесь применяется характерное преобр-е – «освобождение неизвестного из-под знака корня», обычно состоящее в возведении обеих частей Ур-я в один-ю степень. Необх-мо довести до понимания уч-ся причины возм-го появления при этом посторонних корней.

Специфика трансцен-х Ур-й и нер-в:  при рассм-и различных классов трансцен-х Ур-й и нер-в необх-мо уделять дост-е внимание форм-ю навыка применения тожд-в для преобр-я данных Ур-й или нер-в. Особенно ярко это проявляется в тригон-и, поэтому при изучении тригон-х Ур-й и нер-в большое значение приобретают задания и с-мы вопросов, связанные с распознаванием применимости того или иного тожд-ва, возм-ти приведения Ур-я или нер-ва к опр-му виду.

Особ-ти тригон-х Ур-й и нер-в: в отличие от иррац-х, показ-х и логар-х Ур-й и нер-в, где в каждом классе имеется по одному типу простейших, здесь приходится рассм-ть три или четыре типа простейших Ур-й и соотв-щие типы нер-в. Изучение этих типов Ур-е требует введения новых ф-й – обратных тригон-х ф-й, что представляет собой с/ю сложную задачу.

Сод-е линии Ур-й и нер-в развертывается на протяжении всего шк-го курса мат-ки. Учитывая важность и обширность материала этой линии, отметив целесооб-ть на заключ-х этапах обучения предлагать дост-но сложные и разнооб-е задания, рассчитанные на активизацию наиболее сущ-ых комп-тов этой линии, осн-х понятий и осн-х приемов решения, исслед-я и обоснования заданий.

22. Методика обучения решению геом-х задач.

Цели обучения решению геом. задач:

1.Развитие простран-х предст-й уч-ся;

2.Дальнейшее форм-е навыков логич-го мышления;

3.Ч/з задачи уч-ся осваивают суть мат-х фактов;

4.Ознакомление с прикладным аппаратом геом-и.

Класс-ия стереом-х задач:

1.Хар-р треб-й задач: на док-во, на постр-е (сечений), на вычис-е (длин, рас-ий, углов, площадей и объемов)

2.По методу решения: коорд-й, векторный, связанный с практикой

Приемы орган-и обучения решению ГЗ:

1.Устное фронтальное решение задачи (лучше по готовому чертежу);

2.Письменное решение задачи с записью на доске;

3.Письменное с/е решение задачи;

4.Коммент-е решение задачи (ученик);

5.Индив-е решение задачи (д/з)

Приемы: 1.Открытый текст д/работы; 2.Открытая КР; 3.Каждый свой вариант; 4.Дифф.

При проектир-и упр-й учитель д. уметь организ-ть собств-ю деят-ть по решению задачи. Алг-тм работы учителя с задачей: 1.Решить задачу; 2.Осущ-ть анализ задачи (сколько шагов, количество элем-в); 3.Опр-ть соотв-ие дидакт-й цели; 4.Отработать ср-ва и формы работы с задачей.

С-ма упр-й, предст-я в учебнике, недост-на, ее надо дополнять: 1.Задания на распознавание; 2.По готовым чертежам

3. Цели обучения математике в средней школе.

Обучение нельзя рассматривать вне процессов воспитания и развития. Генеральной целью является формирование и

развитие школьника средствами предмета математики. При этом цель формирования ЗУНов является составляющей генеральной цели.

Систему целей представим в виде таблицы, включающей виды целей и их уровни.

Цели первого уровня задают уровень учебного предмета и отображают в стандартах и объяснит записке типовой программы.

Цели второго уровня конкретизируют цели первого уровня и содержание цели изучения какой-либо темы, отражаются в тематическом планировании.

Цели третьего уровня конкретизируют цели первого и второго уровней, привязываются к конкретному учебному содержанию.

Способы постановки целей;

1.  на языке деятельности учителя, цели адресованы учителю или сформированы учителем для себя.

2.  на языке результата учебной деятельности учащихся.

4. Содержание обучения математике в средней школе.

Содержание обучения математики определяется программой стандартом в качестве перечисления основных понятий и раскрывается более подробно в учебниках. Существуют различные подходы к определению понятия «содержание обучения».

Содержание обучения – совокупность математических фактов.

Содержание математического образования не смотря на происходящие изменения концепции обучения математического содержания сохраняет основное ядро.

Ядро современного математического образования – основные содержательные линии.

Изменение содержания математического образования в первую очередь может быть связано развитием математики.

Основные содержательные линии:

Числовая линия, величины, тождественные преобразования выражений, уравнения и неравенства, функции, геометрические фигуры.

Распределение учебного содержания по ступеням обучения.

5-6 класс. Изучается «Математика». Изучение натуральных чисел, дробей и действий с ними.

7-9 класс. Изучается «Алгебра» и «Планиметрия»

10-11 класс. Изучаются «Алгебра и начала анализа», «Стереометрия»

В старшей школе существует два подхода к структурированию:

1.  общеобразовательный курс (3ч алгебры, 2ч геометрии)

2.  курс А – изучение предмета (на весь предмет 3ч)

курс В – профильное изучение математики (8ч в неделю)

Основные компоненты учебного содержания:

1.  Понятия, их определение.

2.  Теоремы, их доказательства.

3.  Математические факты и их правила.

4.  Математические задачи.

5.  Правила, алгоритмы деятельности.

Анализ программ по математике.

1. Требований к математической подготовке учащихся, 2 уровня:

возможности, которые должны предоставить учащимся школы, к ним должны стремиться ученики и при желании достичь безусловный минимум, который должны достичь все учащиеся.

2. Содержание обучения – перечень вопросов, предназначенных для изучения в школе.

3. Тематическое планирование учебного материала – конкретное планирование, ориентированное на действующие в настоящее время учебники математики. Учителю следует строить свою работу, опираясь именно на этот раздел программы.

7. Научные методы познания в обучении математики. Применение в обучении математике методов индукции и дедукции.

Обучение математике сводится не только к запоминанию теорем и их доказательств, сколько к овладению методами познания. Эти методы достаточно полно и точно представлены в психолого-философской литературе. Рассмотрим некоторые из них.

Анализ и синтез.

Анализ – мыслительная операция, заключающаяся в выделении элементов того или иного объекта; или расчленение объекта на части.

Синтез – соединение различных элементов из сторон объекта в единое целое.

Соотношение анализа и синтеза – взаимосвязанные мыслительные процессы. Анализ – средство поиска решения проблемы, задачи, не отражающее решение задачи. Синтез опирается на данные, полученные в ходе анализа, дает решение задачи. Анализ в чистом виде не применяется. Мы пользуемся этой операцией до тех пор пока не возникает идей решения проблемы или задачи. Часто при решении задачи анализ проводится быстро и подсознательно, поэтому кажется, что решение увидено сразу без опоры на анализ.

Анализ и синтез – неотъемлемые части решения любой проблемы или задачи. Рассуждения при решении математической задачи могут идти по-разному: синтетическим путем и аналитическим путем.

Классификация процессов анализа:

1. Анализ в форме расчленения

1.  Анализ в форме рассуждения

·  Восходящий анализ

·  Нисходящий анализ

1. Обучение этой операции может осуществляться через рассмотрение объекта с точки зрения различных понятий; через постановку различных заданий к данному математическому объекту; через сообщения общей схемы метода решения задачи и иллюстрацию его на примере.

Сравнения.

Сравнения играют особую роль в организации продуктов деятельности школьников. В основе умения пользоваться этим приемом лежат навыки: выделение признаков или свойств объекта; установление сходства или различия между признаками объектов.

Классификация. В основе лежат следующие навыки:

·  Выделение признака или свойства объекта

·  Навык установления сходства и различия между объектами

·  Навык группирования объектов по каким-либо признакам.

Прием аналогии.

Аналогия – сходство в каком-либо отношении между предметами, явлениями и понятиями. Основывается на приеме сравнения, присутствует 2 объекта, один из которых известен, а второй сравнивается с ним.

Наблюдение и опыт.

В процессе наблюдения и опыта устанавливаются некоторые представления об исследуемом объекте. Результаты наблюдения и опыта служат посылками для индуктивных выводов. Но следует помнить, что выводы, сделанные по индукции, не всегда могут быть достоверными.

Индукция – метод рассуждения от частного к общему. Это переход от единичных фактов к обобщению. Индуктивный метод обучения – это использование индукции как метода рассуждения для получения новых знаний.

Индукция может быть: полной (вывод делается на основании рассмотренных всех без исключения частных случаем. Вывод достоверный), математической (специальный метод доказательства математических утверждений), неполной (нет полного охвата всех частных случаев, истинность вывода подвергается сомнению).

Дедукция – это форма мышления или метод рассуждения, показывающий истинность какого-либо предложения при условии истинности других предложений, используемых в этом рассуждении. Дедуктивные рассуждения позволяют делать истинные выводы. Широко используется для доказательства математических предложений.

Дедукция и индукция в МОМ используется для изложения для изложения учебного содержания.

Формы изложения учебного содержания:

1. дедуктивная форма может состоять из следующих шагов:

·  Формулировка определения, понятия, теорем, правил

·  Рассмотрение доказательства или характеристических свойств изучаемого объекта

·  Применение определения или теорем для решения задач

2. индуктивная форма

·  Рассмотрение примеров, ситуаций, фактов

·  Формулирование математического факта и его доказательство

Закрепление

2. Шк. курс мат-ки как уч. предмет

Совр-я конц-я шк. мат-го обр-я.

К осн. принципам обновления шк-го обр-я (в частности мат-го) относятся: гуманизация обучения, гуманитаризация, дифференциация и индивидуализация, развивающее обучение, деидеологизация, стандартизация и технолизация обучения.

Гуманизация: очелов-е знаний, т.е. организация уч-го процесса, при кот. знания имели бы для ученика личностный смысл; реализуется через индивид-цию, диффер-цию обучения и усиления мотив-и.

Гуманитаризация: (лат. – дух. культура), приобщение ученика к дух-й культуре, к овладению творч-й деят-ю; реализуется ч/з обеспечение макс-й доступности сод-я, обучение методам познания окруж-й действ-ти, расширение мат-го кругозора. Ср-ва: форм-е у уч-ся понимания того, что  реальные процессы мат-ка описывает на особом мат-ом языке, в виде мат-х моделей. Мат-ку надо представлять ни как набор мат-х фактов, а как общекул-ую дисциплину, позволяющую форм-ть у уч-ся спос-ть к познанию опр-й действ-ти.

Развивающее обучение: смена акцентов с форм-я ЗУНов на развитие качеств личности, в процессе форм-я ЗУНов.

Стандартизация: с-ма осн. треб-й или норм образ-сти уч-ся. Ф-и стандарта:

1) сохранение в стране единого образ-го про-ва: проги м. отличаться глубиной учебного сод-я, но д. обеспечивать минимум треб-й к образ-ти уч-ся.

2) обеспечение права на продолжение образ-я.

3) гуманизация образ-я – обеспечение дифференц-го подхода к обучению, уч-ся дается возм-ть овладения предметом на разных уровнях, не ниже треб-й стандарта.

4) критериально-оценочная  - четкая ориентация учителей, родителей, учеников на обязат-е треб-я к подготовке уч-ся.

5) управление обр-м  - на основе диагностики качества знаний, принимаются управленческие решения.

Технолизация: стремление сделать обучение похожим на хорошо отлаженный механизм, 2 качества: гарантирует достижение целей и представляет опр-ю послед-ть действий, универс-ю для любого учителя.

Перспективы развития:

- разработка новых технологий обучения мат-ке, обеспеч-х выше перечисленные направления деят-ти и позвол-х реализовать единство обучения, развития и восп-я

- форм-е информ-й культуры уч-ся (УНы по быстрой обработке инф-ции)

- обновление учебно-метод-го обеспечения

- профилизация мат-го обр-я

М-ка как наука и как учебный предмет в ср. школе.

Историю развития мат-ки разбивают на 4 периода:

1) 6-5 века до н.э.- зарождение мат-ки, накопление мат-х фактов.

2) До 17 века – элем-я мат-ка, проявление в связи с постр-м геом-и как с/й науки. «Начала».

3) 17-19 века -  класс-ая мат-ка, т.е. период становления мат-го анализа. Появл-ся понятия бесконечно малая величина, производная, интеграл.

4) До нас-го времени- совр-я мат-ка, мат. логика, теория вер-й, теория мн-в, геом-я Лоб-го

Сод-е шк. курса отличается от курса мат-ки как от науки. В школе изучается элем-я мат-ка (2 смысла):

1) изучение мат-ки до 4 периода

2) совок-ть дисц-н, изучаемых в школе

Цели обучения мат-ке в ср. школе.

Обучение нельзя расс-ть вне процессов развития и восп-я.

Генер-я цель – форм-е и развитие личности шк-ка ср-ми предмета мат-ки, при этом цель форм-я ЗУНов явл-ся составляющей генер-й цели

Система целей обучения мат-ке (виды целей и их уровни).

Уровни\ виды целейУчебные Вос-е Развив-е

Учеб. предмета 1.1 1.2 1.3

Учеб. темы 2.1 2.2 2.3

Реального уч. процесса (урок) 3.1 3.2 3.3

Цели 1-го уровня задают уровень учебного предмета и отражаются в стандарте и объясн-й записке типовой проги по мат-ке.

2 уровень: конкрет-ют общие цели и содержат цели изучения какой–либо темы; отражаются в темат-м планир-и.

3 уровень: конкретные цели 1 и 2 уровней, привязываются к конкр-му учебному сод-ю.

Учебные цели:

1.1 усвоение обяз-го мин-ма сод-я мат-го обр-я, опр-го стандартом и прогой, обладание умением решать осн. типы мат-х задач, освоение способов познав-й учебной деят-ти.

2.1 --\\-3.1 Цели, кот. привязываются к конкр-му учебному сод-ю (форм-е навыка решения лин-х нерав-в, спос-ть форм-я логич-х опер-й сравнения, при одновр-ом изучении ум. и дел. обыкн-х дробей, овладение навыками с/й работы с уч. текстом).

1.2 форм-е интереса к мат-ке, восп-е гражданина, форм-е культуры общения, эстетического вкуса, критичности мышления, нравст-х качеств личности.

2.2--\\-3.2 спос-ть к форм-ю интереса к мат-ке, поср-вом дидак-й игры, ч/з рас-е задач практ-го сод-я, спос-ть форм-ю четкости поср-вом с/роверки, с/р, спос-ть к форм-ю эстетического вкуса поср-вом расширения связи геом-го материала и правилами архит-ных строений.

1.3 интел-е развитие, развитие мат-й интуиции и логики, развитие психических процессов (внимание, память, воображение, речь, форм-е мировоз-я).

2.3 --\\--

3.3  развитие мат-й речи, при отработке алг-ма решения дробно–рац. ур-й.

Деление целей достаточно условно. 

Важнейшей задачей для учителя при изучении темы  - уметь осущ-ть анализ целей, выстраивать и обосновывать с-му целей.

Способы постановки целей:

1) На языке деят-ти учителя (выше приведенные цели, цели, адресованные учителю или сформ-ые учителем для себя).

2) На языке рез-та учебной деят-ти уч-ся (форм-ся для уч-ся ч/з категории: знать, понимать, применять, уметь).

16. Тожд-е преобр-я

При изучении т.п. у уч-ся важно сформ-ть понимание их значимости в мат-ке. Т.п. применяются при выводе формул, при решении нерав-в, Ур-й…

Осн. понятия: числ-е, алгебр-е, буквенные выр-я, упростить выр-е, тожд-во, т.п., док-во тожд-в, одночлен, многочлен, станд-й вид одночлена и многочлена, формула.

Уровень обяз-ой подготовки уч-ся опр-ся:

- пониманием смысла выше перечис-х терминов

- знанием формул

- умением тождественно преоб-ть

Этапы изучения т.п.

1. Пропедевтический – реализуется в начальной школе, в 5-6 классах без испол-я терминов тожд-во и т.п. По рез-там этого этапа уч-ся д. уметь:

- выполнять числовые подстановки в букв-е выр-я

- находить значение выр-я

- применять св-ва действий с числами к упрощению выр-я

- приводить подобные слагаемые

2. Форм-е навыков применения конкр-х видов преобр-я - реализуется на ступени 7-9. Начин-ся с изуч-я ФСУ, продолжается изуч-ем св-в арифм. квадр. корня. Уч-ся д. уметь:

- выполнять разложение на мн-ли

- вынесение общего мн-ля

- применять ФСУ

- выполнять осн. действия со степенями с нат., целым и дробным показателями

- выполнять действия с многочл-ми и алг. дробями

- применять св-ва арифм. квад. корней

3. Форм-е целостной с-мы ЗУНов т.п. – соотв-т обобщённому повторению за курс осн. школы, реализуется при выпускном экзамене за 9 класс. Суть этапа – осмысление изученного. Треб-я соотв-т треб-ям прог-мы за курс осн. школы.

4. Расширение и соверш-ие навыка т.п. Изучение новых видов преобр-й, связанных с элемен. ф-ми (триг., логар., показ.). Кроме алгебр. преобр-й уч-ся изучают аналит. преобр-я (преобр-я, основанные на правилах диф-я и интег-я). В алгебр. тожд-вах перем-е пробегают числ-е мн-ва, в аналит. – перем-е явл-ся мн-вами ф-й.

Уч-ся д. уметь:

- выполнять простейшие преобр-я тригон., логар., показ. выр-й

- осущ-ть аналит. преобр-я

О различных трактовках понятия тожд-ва в шк. курсе М.

О1: рав-во, верное при любых значениях перем-й, наз-ся тожд-вом (уч-ик Теляк-го, 7 кл.)

О2: выр-я, соотв-е значения кот. равны при любых значениях перем-х, наз-ся тожд-но равными.

О3: замену выр-я др. тожд. равным ему выр-м наз-т т.п.

Достоинства: - имеют краткую форм-ку

- доступны уч-ся 7 кл.

- соотв-т восприятию учеб. материала уч-ся 7 кл.

- удобно рас-ть, если испол-ть целые рац-е выр-я

Недостатки: - соотв-я опр-м, нельзя считать тождеством выр-е а2/а=а, при а=0 – выр-е не имеет смысла.

О11: рав-во, верное при всех допустимых значениях перем-й наз-ся тождеством.

Под допус-ми значениями перем-й понимаются все зн-я перем-й, при кот. имеет смысл и левая, и правая части рассм-х рав-в. Выр-я, соотв-е зн-я кот. равны при всех допус-х зн-х перем-й, наз-ся тожд. равными.

Недостаток: согласно О11при решении ур-й м. прийти к ур-ю, не равносильного данному.

О12: рав-во, верное при любых зн-х перем-й, принадлежащее данному мн-ву, наз-ся тождеством на данном мн-ве. Тожд. равные выр-я – это выр-я, соотв-е зн-я кот. равны при любых зн-х перем-й, принадлежащей данному мн-ву. Суть: и левая, и правая части рав-ва д.б. тожд. опр-ны на одном и том же мн-ве.

Выр-я и их виды, некот-е особ-ти т.п.

5 кл.: числ-е и буквенные выр-я

7 кл.: числ-е выр-я и свыр-я с переем-ми

8 кл.: - вводится понятие рац. выр-я, кот класс-ся на целые и дробные

- даётся понятие допуст. зн-е перем-й

9 кл.: степень с рац показателем, но понятие иррац выр-я не вводится

10-11 кл.: говорится об иррац. ур-и как об ур-и, содер-м перем-ю под знаком корня

Класс-я выр-й, над кот. в ШКМ. осущ-ся т.п.:

- неалгеб. – связывают ариф. опер-и и осн.элем.ф-и

- алгеб. – сод-т ариф. опер-и, возв-е в ст-нь, корень

- иррац. – корень, возв-е в степень, явл-ся дробным числом

- рац. – тождества, в кот. отн-но перем-х не выполняется никаких опер-й, кроме ариф-х и возв-е в целую степень: (целые и дробные)

Особ-ти т.п.

При выполнении т.п. возможно изменение области опр-я выр-я. На этот нюанс т.п. часто не обращают внимания в неполной средней школе, это связано с опр-м понятия «тожд-во», кот. взято за основу в том или ином классе, в том или ином учебнике. Необ-мо обращать внимание уч-ся на каком мн-ве исходное выр-е  тожд. равно полученному. В процессе преобр-й область опр-я м. не меняться, м. стать уже, м. расшириться.

При обучении решения ур-й и нер-в у уч-ся необ-мо форм-ть осознанное отн-е к выполнению т.п. в процессе их решения. Расширение области опр-я приводит к появлению постор-х корней.

Практич. реком-ии к изучению тожд-в в шк. курсе М.

Форм-е навыков т.п. осущ-ся ч/з с-му упр-й. Осн. принцип организации с-мы упр-й: построение от простого к сложному. Этапы обучения тожд-ву:

1. форм-е умений т.п. конкр. вида простейших ситуаций включает:

- пропедевтику восприятия тожд-ва

- упр-я на распознавание тожд-ва с подробным выполнением записей прим-я тож-ва

- упр-я на проговаривание тож-ва, на восприятие тож-ва на слух, воспроиз-ие тож-ва

2. автоматизация умений к применению конкр. тож-ва

- включает те же упр-я

- упр-я с усложнённой стр-рой

- упр-я на рац-ть вычисления

3. расм-е приложений тож-ва к др. темам курса

Особое место в с-ме упр-й занимают упр-я на док-во тож-ва, при этом у уч-ся необ-мо форм-ть способы д-ва тож-в:

- послед-е преобр-е А в В

- послед-е преобр-е В в А

- поочерёдное преобр-е А и В до тех пор пока не получится одно и тоже выр-е

- док-во А-В=0

15. Методика изучения действительных чисел.

При изучении иррациональных чисел нужно показать, что кроме бесконечных периодических десятичных дробей также существуют бесконечные непериодические десятичные дроби. Их то и называют иррациональными. Показательней всего решить задачу на нахождение длины диагонали квадрата со стороной 1.

Требования, предъявляемые к расширению числовых множеств: пусть дано нек.множ-во А, оно расширяется до множества В, тогда все элементы мн-ва А являются эл-ми мн-ва В, все операции мн-ва А выполняются и в В. Во множестве В выполняется операция, которая в А невыполнима. В – минимальное расширение А. Данный подход используется в ШКМ.

Метод.схема:

I Подготовительный этап: а) Актуализация знаний; б) Мотивация, показать недостаточность известных числовых множеств для решения какой либо практической задачи.

II Введение нового числового множества ч/з дополнение имеющихся. Дать определение, запись, чтение.

III Геометрическая интерпретация;

IV Сравнение чисел;

V Арифметические операции над числами.

9. Математические понятия и методика их формирования в средней школе.

Понятие – особая форма мышления, возникающая в процессе отражения в мозге человека свойств объекта.

Понятие – мысленное воспроизведение объекта или это описание объекта.

Объект – рисунок, модель, предмет, аналитическая запись и т.д. Сформулировать понятие об объекте значит раскрыть все существующие свойства объекта или признаки объекта.

Признак – все то, в чем сходны объекты друг с другом или в чем они отличаются.

Классификация признаков: существенные (отличают объект данного множества от объектов другого множества) и несущественные (не дают возможности отличить объект от множества других объектов).

Всякое понятие обладает содержанием и объемом.

Содержание понятия – множество всех существенных признаков объекта. Это система характеристических свойств, по которым происходит объединение объектов в единый класс.

Объем понятия – множество тех объектов, которые обладают этими признаками.

Объем и содержание понятия взаимосвязаны. Изменение содержания понятия ведет к изменению объема понятия и наоборот.

Увеличение содержания понятия (добавление характеристических признаков) ведет к уменьшению объема понятия и наоборот.

Если объем понятия содержится в объеме другого понятия, то второе понятие называют родовым по отношению к первому, а первое – видовым по отношению ко второму.

Определение понятия, как действия, - это логическая операция, которая раскрывает содержание понятия. Операция:

1.  .выбор ближайшего родового объекта (для параллелограмма это четырехугольник)

2.  наложить на ближайший родовой объект ограничение (или видовые отличия)

3.  введение нового объекта с меньшим объемом, но с большим числом свойств, с присвоением термина.

Виды определений понятий. Классификация понятий.

Формально-логические определения.

Это определение математических объектов через ближайший род и видовые отличия (как пример определение параллелограмма).

Конструктивные определения.

Свойства объектов раскрываются путем показа операций конструирования объекта, то есть видовые отличия задаются в виде действий (определение поворота).

Рекурсивное определение.

В нем указываются базисные объекты и правила, позволяющие получить из них новые объекты (определение арифметической прогрессии).

Отрицательные определения.

В них перечисляются свойства, которые отрицаются (скрещивающиеся прямые).

Астенсивное определение.

Демонстрация объекта путем показа (используется в начальной школе).

Классификация – это процесс вычленения объема понятия или разделение множества объектов на виды. Существует два подхода к классификации понятий:

·  по видоизмененному признаку

·  дихтомическая классификация; суть: сечение понятий на две части или деление объема классифицируемых понятий на 2 противолежащих друг другу видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое нет.

Логико-математический анализ включает ответы на вопросы: КАКИЕ ОБЪЕКТЫ, ПОНЯТИЯ ИЗУЧАЮТСЯ В ДАННОЙ ТЕМЕ? ДАЮТСЯ ЛИ ИМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ? К КАКОМУ ВИДУ ОПРЕДЕЛЕНИЙ МОЖНО ОТНЕСТИ ДАННОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ?КАКОВ РОД И ВИДОВЫЕ ОТЛИЧИЯ ПОНЯТИЯ? ОСУЩЕСТВИТЬ КЛАССИФИКАЦИЮ ПОНЯТИЙ.

Этапы изучения понятий:

1.  Подготовка к введению понятия и введение его.

2.  Этап усвоения понятия.

3.  Закрепление понятия.

1 этап предполагает:

·  Выявление существующих свойств понятия, акцентирование внимания учащихся на эти свойства

·  Формулирование определения понятия.

Существует 2 подхода по введению математического понятия

 1) конкретно-индуктивный метод

а) мотивация введения понятия б) выделение существенных признаков понятия(подведение объекта под понятие)

в) Формулировка определения понятия.

г) установление логической структуры определения понятия д) первичное закрепление понятия путем рассмотрения примеров и контр примеров.

 2) абстрактно-дедуктивный метод.

отсутствие 1,2 из прошлого метода.

а) формулировка определения понятия б) рассмотрение примеров и контр примеров с целью усвоение характеристических свойств понятия.

2. Понимание, запоминание, применение определения понятия при решении упражнений и задач репродуктивного и реконструктивного характера; Формирование навыка решения типовых задач посредством системы упражнений.

Методы организации усвоения:

- раздельный

- компактный

- комбинированный

- алгоритмический

3. Отработка навыка применения определения понятия на последующих уроках через систему упражнений репродуктивного, реконструктивного, вариативного и творческого характера.

типичные ошибки учителя:

1.систематическое обращение только к абс.-дедук. методу.

2.неучастие учащихся в конструировании определения

3.исключение пропедевтического этапа в формировании понятия

4.не использование упражнений на распознавание объектов.

5. требование воспроизвести понятие без опоры на его применение к решению задач.

7.Научные методы познания в обучении мат-ке.

Обучение мат-ки сводится не только к запоминанию т-м и их док-в, но и к овладению методами познания.

1. Анализ и синтез – основа мыслит-х опер-й.

Анализ – мыслит-я опер-я, кот. заключается в выделении Эл-ов того или иного объекта (признаки, св-ва, отн-я). Расчленение объекта на части.

Синтез – соединение различных Эл-ов в единое целое.

Соотн-е анализа и синтеза – взаимосвязанные мыслит-е процессы. Анализ – ср-во поиска решения проблемы, не отражающее решение. Синтез опирается на данные, полученные в ходе анализа, дает решение задачи. Анализ в чистом виде не применяется, мы пользуемся этой опер-й до тех пор, пока не возникает решение проблемы. Часто, при решении задачи анализ проводится быстро и подсозн-но, поэтому кажется, что решение увидено сразу, без какой бы то ни было опоры на анализ.

Анализ и синтез – решение любой проблемы – это ее часть, рассуждения при решении мат-й задачи м. идти по-разному: синтет-м путем и аналит-м путем от искомых к данным задачи.

Анализ: 1) в форме расчленения. Обучение м. осущ-ся ч/з:

а) расс-е объекта с т. з. разных понятий. б) постановку разных заданий к данному объекту. в) сооб-е общей схемы метода решения и иллюстрацию его на примере.

2) в форме рассуждения а) восходящий б) нисходящий.

2. Сравнение.

Играет особую роль в орган-и продуктивной деят-ти шк-ков, в основе умения польз-ся этим приемом лежат навыки: 1) выделение признаков или св-в (харак-е св-о) 2)  установление сходства или различия м/у признаками двух или неск-х объектов.

Уч-ся д. уметь, оперировать термином «признак», «харак-й признак объекта», «характерис-е св-во».

3. Класс-я.

В основе навыки: - выделение признаков или св-в объекта, - установление сходства или различия, - группировка объектов по к-либо признаку.

4. Аналогия - это сходство в к-либо отн-и м/у предметами, явл-ми или понятиями. Осн-ся на приеме сравнения, присутствует два объекта, один из кот. известен, а второй с ним сравнивается.

Прим-е в обуч-ии мат-ке методов инд-и и дед-и.

Наблюдение и опыт. Устанав-ся некот. предст-я об исследуемом объекте.

Рез-ты служат посылками для индукт-х выводов, но следует помнить, что выводы, сделанные по инд-и, не всегда м. б. достоверными.

Индукция (лат. - поведение). Метод рассуждения от частного к общему, переход от единичных фактов к обобщению - этот метод обучения – испол-е инд-и как метода рассуждения для получения новых знаний.

Виды индукции:

1. Полная: вывод делается на осн-и расс-я всех без исключения ч.с.

2. мат-ая: спец-й метод док-ва мат-х утвер-й.

3. неполная: нет полного охвата всех ч.с., истинность вывода подвергается сомнению.

Дедукция.

Форма мышления (способ рассуждения), кот. показывает истинность к-либо предл-я, при усл-и истинности др. предл-й, испол-мых в этом рассуждении.

Дедукт-е рассуждения позволяют делать истинные выводы, широко испол-ся в док-ве мат-х предл-й.

Дед-я и инд-я в МПМ испол-ся для изложения учебного сод-я.

Формы изложения учебного сод-я:

1) дедукт-я – может состоять из:

- формул-ка, опр-е понятия

- расс-е док-ва мат-го факта, харак-х св-в изучаемого объекта

- применение опр-я, т-мы для решения задач

2) Индукт-я:

- расс-е примеров, ситуаций, фактов

- формул-ка мат-го факта, док-во

- закрепление мат-го факта на примерах

17. Методика изучения Ур-й, нерав-в, с-м в неполной ср. школе.

Осн-е понятия линии Ур-й  и неравв.

Ур-е, нер-во, корень ур-я, решение ур-я и нер-ва, понятия равнос-ти и логич-го следов-я, сс. ур-й и нер-в, график ур-я  и нер-ва, св-ва числ-х равенств, нер-в, виды ур-й, нер-в, способы решения ур-й.

Среди мат-ков и сегодня ведутся споры по поводу трактовки понятия «ур-е». Часто ур-е рассм-ют как аналитическую запись задачи об отыскании совок-ти тех значений переем-х, при кот. выр-е, стоящее в левой и правой частях ур-я принимают равные значения. Термин «ур-е» так же применяется не связанно с задачей отыскания решения (ур-е касс-й, ур-е прямой).

В больш-ве учебных пособий ур-е опр-ют как равенство, содер-е переем-е. (Напр-р, х+4=5, х+у = ху).

Значение ур-я, нер-ва, при кот. оно превращается а истинное числ-е рав-во, нер-во, наз-ся решением ур-я, нер-ва (или корнем ур-я).

Решить ур-е, нер-во означает найти мно-во его решений.

В опр-и понятия «ур-я» испол-ся один из 2-х терминов: перем-я или неизв-я. Смысл: перем-я пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них специально, неизв-я – представляет собой буквенное обозн-е некот-го числа. Термином неизв-я чаще пользуются при решении текстовых задач.

Понятие логич-го след-я и равнос-ти. Они взаимосвязаны. Ч/з понятие следование опр-ся понятие равнос-ти предл-я с перем-й. Логич-е следование – если имеются 2 предл-я, то из одного предл-я следует другое, если всегда, когда истинно 1 предл-е, является истинным и второе. ИЛИ:  из одного предл-я следует другое, если не м.б. такого случая, что 1-е истинно, а второе – ложно. ИЛИ: из одного ур-я (нер-ва) следует другое, если мно-во решений 1-го является подмно-вом мно-ва решений 2-го.

2 предл-я наз-ся равнос-ми, если из 1 =>2, а 2=>1. ИЛИ: 2 ур-я, нер-ва наз-ся равнос-ми, если мно-во решений 1-го явл-ся подмно-вом мно-ва решений второго, и наоборот, т.е. мно-ва решений ур-й совпадают.

На этом выводе решаются ур-я с 1 переменной: чтобы решить ур-е заменяют его равнос-м, полученное опять заменяют равнос-м и т.д., пока не получают ур-е с очевидным решением.

В отношении форм-я понятия равнос-ти и его применения к решению ур-й учебные пособия м. разделить на две группы:

1) Пособия, в которых испол-е равнос-х преобр-й основано на введение и изучение понятия равнос-ти.

2) В кот. применение равнос-ти преобр-й предшествует выделению и изучению понятия равнос-ти.

Роль линии ур-й и нер-в в учебном плане.

Материал, связанный с ур-ми и нер-ми, явл-ся осн-й частью шк-го курса. Это объясняется тем, что ур-я и нер-ва широко испол-ся в различных разделах мат-ки, прикладная направленность линии ур-й и нер-в раскрывается при изучении алгебр-го метода решения текстовых задач. Ур-е – осн-я часть (или осн-е мат. ср-во), кот. испол-ся в мат-й модели.

Теоретико-мат-я направленность проявляется в том, что изучаются классы ур-й и соотв-е мат. понятия. Сод-е этой линии тесно связано с др. разделами курса: а) с числ-й линией (все числ-е области, кроме R чисел, возникают с реш-ем к-либо ур-й)

б) с функц-ной линией (реализуется в граф-ом решении ур-й).

Осн-е этапы изучения нер-в, ур-й и их сс.

1) изучение осн-х классов нер-в, ур-й

лин-е ур-я

лин-е нер-во с одним неизвестным

сс. 2-х лин-х ур-й с 2-мя неизвестными

квадр-е ур-я и нер-ва

простейшие рац-е и трансц-е ур-я, нер-ва.

Эти классы изучаются с большой тщател-ю, алг-м их решения доводится до автоматизма.

2) Постепенное расширение кол-ва изученных классов ур-й, нер-в и сс. реализуется ч/з изучение ур-й нер-в, сс., сводящихся к осн-м классам (биквадр-е к решению квадр-го).

3) Форм-е общих приемов решения ур-й, нер-в, сс.

Класс-ия приемов:

1) Логич-е приемы обоснования решений (см. выше).

2) Вычисл-е приемы – упрощение частей ур-я, проверка корней.

3) Наглядно-граф-е – решение ур-й с модулем.

4) Синтез изученного сод-я линии ур-й и нер-в – м. отнести к итоговому повторению, в рез-те чего д.б. сформ-на общая картина связей изученных классов ур-й и их сс.

Ур-я: - трансц-е

- алгебр-е (рац. (целые и дробные, от кот. идут стрелки к лин. и квад.) и иррац.)

15. Мет-ка изучения действ-х чисел.

При изучении иррац-х чисел нужно показать, что кроме бескон-х период-х десят-х дробей также сущ-т бескон-е непериод-е десят-е дроби. Их то и называют иррац-ми. Показательней всего решить задачу на нахож-е длины диагонали квадрата со стороной 1.

Треб-я, предъявляемые к расширению числ-х мно-в: пусть дано нек. мно-во А, оно расширяется до мно-ва В, тогда все элементы мно-ва А явл-ся эл-ми мно-ва В, все операции мно-ва А выполняются и в В. Во мно-ве В выполняется операция, кот. в А невыполнима. В – миним-е расширение А. Данный подход используется в ШКМ.

Метод. схема:

I Подготов-й этап: а) Актуализация знаний; б) Мотив-я, показать недост-ть известных числ-х мно-в для решения к-либо практ-й задачи.

II Введение нового числ-го мно-ва ч/з дополнение имеющихся. Дать опр-е, запись, чтение.

III Геом-я интерпретация;

IV Сравнение чисел;

V Арифм-е операции над числами.

10. Мет-ка изучения рац-го числа

Уч-ся склонны считать мно-во Q не только всюду плотным, но и полным, т.е. покрывающим прямую без пробелов. Это ошибочное понимание порождается восприятием геом-го изобр-я чисел в виде точек на прямой. Рац-е точки прямой расположены настолько плотно, что, кажется, они уже не оставляют на прямой пустых мест, т.е. они исчерпывают все точки прямой. Опровергнуть это неправ-е представление м. док-вом сущ-я на прямой точек, не соотв-щих никаким рац. числам.

23. Методика изучения т-м и их док-в

Виды т-м, стр-ра, взаимосвязь.

Т-ма (греч. – зрелище, предл-е, доступное познанию) – предл-е (утв-е), истинность кот. док-ся с помощью аксиом, ранее изученных опр-й и предл-й.

Логико-мат-й анализ стр-ры предл-я включает:

1) выделение разъяснительной части, усл-я и заключения

2) установление какое дано утв-е: простое или сложное

Классы т-м: по числу усл-й и заключений делятся на простые (1 условие и 1 заключение) и сложные (сод-т или неск-ко условий, или неск-ко заключений, или и то, и то).

Виды т-м:

1.вид т-мы; 2. хар-ка; 3. словесная и усл-я хар-ки; 4. пр-р.

1) 1.Прямая 2. един-е условие; един-е заключение 3. если есть А, то есть В; из А следует В; 4. если в ∆ 2 угла равны, то противолежащие им стороны равны.

2) 1. обратная 2. если сделать условие 1) заключением, а заключение условием, то получится обратная т-ма. 3. если есть В, есть А; из В следует А.  Обратная теорема м.б. как верной, так и неверной.

3) 1. Противоп-я. 2. Отриц-ся усл-е и закл-ие прямой т-мы. 3. Из не А следует не В. Противопол-я м.б. верной и неверной.

4) Противопол-я обратной или обратная противопол-й. 2. отриц-ся усл-е и заключение обратной т-мы 3. Если отсутствует В, то и А отсутствует.

Виды т-м по хар-ру формул-к:

1) условная: если…(условие), то … (заключение).

2) категорическая (пр.: вертикальные углы равны), она м.б. перефраз-на в условную.

Мат. док-во.

Говоря "мат-е док-во», мы имеем в виду док-во мат-х предл-й. В строгом смысле о мат-м док-ве возможно говорить в рамках к-нибудь формальной аксиом-й с-мы – теории. В этом случае под док-вом понимают такую конечную послед-ть (А, A, А .., А) предл-й теории, что каждое предл-е либо аксиома, либо получено из предшеств-х предл-й этой послед-ти по к-нибудь правилу.

Док-ва – цепочки прав-х умозакл-й, ведущих от истинных посылок к док-мым тезисам.

Док-во т-мы – логич-й переход от усл-я т-мы к заключению.

Сущность метода от противного.

(на пр-ре т-мы: ч/з каждую точку прямой м. провести перпен-ю ей прямую и только одну).

1) выделить утв-е, кот. нужно док-ть.

(утв1.: м. провести прямую, перпен. док-ся: пусть дана прямая а и точка А на а, отметим полученную АВ  и от нее отложим угол ВАС=90°, тогда АС перпен. АВ, утв2: только одну)

2) сформул-ть допущения, явл-ся отриц-м док-го утв-я (д-ся: путь сущ-т другая прямая АД, проходящая ч/з А и перпен. а Лучи АС и АД лежат в одной полупл-ти отн-но а)

3) вывести заключение из принятого утв-я, тогда (д-ся угол ВАС и угол ВАД = по 90 и отложены в одну полупл-ть)

4) выявить факты, кот. противоречат заключению, полученному из допущения или кот. противоречат усл-ю т-мы (д-ся, что противоречит аксиоме откладывания углов)

5) сделать вывод, что предпол-е неверно (д-ся: наше предпол-е о сущ-и еще одной прямой неверно, такая прямая един-я)

Единая методологич-я схема орган-и работы с т-мой.

Этап 1. Введение т-мы предполагает:

Осн-м рез-том этого этапа явл-ся изложение формул-ки док-ва т-мы, первичное ее закр-е.

Как и при введении мат-го понятия к введению т-мы сущ-ет два подхода:

(или, по-другому, методические схемы введ. т-м):

1) конкретно-индуктивным методом

1.Подгот-я работа к формул-ке т-мы и ее док-ву (усмотрение геом-го факта)

2.Мотив-я изучения т-мы

З.Формул-ка т-мы

4.Усвоение формул-ки тмы

5.Работа над стр-рой т-мы (условие, заключение)

б.Изобр-е чертежа и фиксир-е краткой записи сод-я т-мы

7.0рган-я поиска док-ва т-мы

8.Запись док-ва

9.Рассм-е задач на прямое применение т-мы (первичное закрепление)

2) абстрактно-дедуктивным методом

1.Формул-ка т-мы

2.Работа над стр-рой т-мы

3.Док-во т-мы и фикс-е его в тетрадь

4.Рассм-е задач на прямое применение т-мы

Этап 2. Усвоение т-мы предполагает: понимание, запоминание, применение т-мы при решении упр-й и задач реконстр-го, вариативного хар-ра.

Методы орган-и усвоения т-мы

-раздельный;

-компактный;

-комбинированный;

-алгоритм-й

Этап 3. Закрепление т-мы предполагает отработку навыка применения т-мы на послед-х уроках

14. 10. Методика изучения рационального числа.

Учащиеся склонны считать множество Q не только всюду плотным, но и полным, то есть покрывающим прямую без пробелов. Это ошибочное понимание порождается восприятием геометрического изображения чисел в виде точек на прямой. Рациональные точки прямой расположены настолько плотно, что, кажется, они уже не оставляют на прямой пустых мест, то есть они исчерпывают все точки прямой. Опровергнуть это неправильное представление можно доказательством существования на прямой точек, не соответствующих никаким рац.числам.