Программа, которая считывает из входного файла функцию и выводит в выходной файл все корни функции. Проблема количества и положения корней

В этом отчёте описываются возможные пути решения задачи и проблемы, возникающие при их реализации. Многие из этих проблем исчезнут при выпуске новых версий Matlab. Использовался самый «свежий» на текущий момент Matlab 6.5.1 от 4 августа 2003 года со всеми установленными пакетами.

Цель: Программа, которая считывает из входного файла функцию и выводит в выходной файл все корни функции.

Проблема количества и положения корней

Уравнение с одной неизвестной может иметь несколько корней. Это может приводить к нескольким решениям,  а может и не приводить. Легко можно представить себе ситуацию, когда в квадратном уравнении используется переменная  - длина какого-либо отрезка. Один из корней может быть отрицательным, при этом ясно, что вряд ли пользователя интересует решение с отрицательной длиной, остаётся только один корень, т.е. единственное решение. Для исключения «лишних» решений следует добавить ограничения на переменную.

Методы для поиска корней можно разделить на 2 большие группы:

• Численные методы (приближённые). При работе численного метода в качестве исходных данных используются только значения функции в определённых точках. Большинство численных методов рассчитано на поиск только вещественных корней.
• Символические методы (точные). При работе символических методов пытаются повторить рассуждения математика (эксперта) при решении задачи. Из-за сложности задачи до сих пор символически решается только небольшой класс уравнений.

Численные методы

К сожалению, функция численно вычисляющая сразу вектор корней в Matlab отсутствует. Есть следующие функции для поиска корней произвольной нелинейной функции:

=fzero(,) – ищет корень функции , используя  в качестве начального приближения. Если  корней нет, то возникает исключение.

=fzero(,[]) – ищет корень функции  на интервале []. При этом обязательно  и  должны быть разных знаков, что сильно затрудняет использование этой функции в наших целях, т.к. требуется искать экстремумы функции.

= fminbnd(,,)  – ищет минимум функции  на интервале []. При этом всегда возвращает минимальное значение. Можно использовать её для вычисления вещественных корней, учитывая, что минимумы  равные нулю совпадают с корнями .

Чтобы найти все корни  воспользуется следующей идеей: пусть каким-либо методом найден корень , разделим функцию  на , теперь мы уменьшили кратность корня  в функции  на 1. Если мы ещё раз воспользуемся методом поиска одного корня, то теперь метод найдёт нам второй корень, который мы так же используем для уменьшения количества корней . И так мы найдём все корни функции .

Нашем программу, которая вычисляет все корни используя fminbnd:

% M-файл find_all_roots.m function find_all_roots % Cчитываемизвходногофайлафункцию [FI,mes] = fopen('roots.in','rt'); F = fgetl(FI); fclose(FI); % Ивыводимввыходнойфайлкорнифункции opt = optimset('TolX',10^(-15)); % Настройкаточностиминимизации [FO,mes] = fopen('roots.out','wt'); fprintf(FO,'Корни уравнения: %s=0\n',F); while true   R = strcat('(',F,')^2');   x = fminbnd(R,-10000,10000);   y = eval(F,x);   if (y>0.01)     break;   end   T = sprintf('%f',x);   F = strcat('(',F,')/(x-(',T,'))');   fprintf(FO,'y(%f)=%f\n',x,y); end fclose(FO);

Программа считывает исходные данные из файла roots.in и выводит найденные корни в файл roots.out. Оболочка на Delphi должна была бы помещать уравнения для решения в файл roots.in, вызывать Matlab-программу и считывать результаты из roots.out. Т.е. эти 2 файла образуют интерфейс между оболочкой на Delphi и вычислительной программой на Matlab.

К сожалению, данная версия Matlab хоть и позволяет откомпилировать (т.е. создать exe-файл)  find_all_roots.m, полученный файл find_all_roots.exe не работает (создатели Matlab ещё не доделали эту возможность).

Таким образом, не удалось создать систему, в которой пользователь мог бы выполнять все операции в Delphi-оболочке и вообще не запускать Matlab.

Символические методы

Для символического решения уравнений вида  в Matlab существует функция solve. Её синтаксис таков:=solve(,) либо просто =solve().