Исследование характеристик систем, образованных последовательным и параллельным соединениями звеньев в корневой, временной и частотной областях, страница 2

В – матрица управления;

С – матрица наблюдения;

d – матрица обхода:

,  ,   .

Матрица В находится в результате решения следующего уравнения:

, где матрица L строится из коэффициентов характеристического полинома и имеет вид:

, а матрица G строится из коэффициентов числителя ПФ звена:

.

Определение матрицы управления:

.

Матрица управляемости имеет вид:

, где n – степень характеристического полинома.

Определение матрицы управляемости:

;

.

Вычисление главных миноров матрицы управляемости:

По главным минорам можно определить ранг матрицы V:

.

Так как ранг матрицы управляемости равен степени характеристического полинома, можно сделать вывод, что система полностью управляема.

Матрица наблюдаемости имеет вид:

 , где n – степень характеристического полинома.

Определение матрицы наблюдаемости:

;

.

Вычисление главных миноров матрицы наблюдаемости:

Ранг матрицы U:

.

Система полностью наблюдаема.

Задача 2.3. Определить характеристики в корневой, временной и частотной областях звена с ПФ вида

.

Значения параметров ПФ звена  

Рассчитать ПФ  звена, последовательное включение которого со звеном  компенсирует его правый полюс (компенсация происходит, когда в корневой плоскости на полюс накладывается нуль, т. е. происходит образование диполя).   Решение:

На рисунке 11 показаны нули и полюсы звена с ПФ  

Рис. 11 Нули и полюсы звена с ПФ

На рисунке 12 показаны временные характеристики звена с ПФ  

Рис. 12 Временные характеристики звена с ПФ

На рисунке 13 показано АФХ звена  с ПФ  

Рис. 13 АФХ звена  с ПФ

Найдём полюсы звена :

Следовательно,  правый полюс. Тогда ПФ  звена будет выглядеть вот так: .

Ответить на следующие вопросы:

Как проявляются свойства неустойчивой части в последовательном соединении звеньев  и  на характеристиках соединения в целом с ПФ ? Привести подробное объяснение, при этом обратить внимание на возможность ненулевых начальных условий, малых возмущений, вариаций параметров.

Ответ:

, ,   .

;

;         ( ДУ)

Естественный базис:    ;

;

Схема последовательного соединения звеньев  и  представлена на рисунке 14.

Переходная характеристика звена  представлена на рисунке 15.

Рис 14 Схема последовательного соединения апериодического звена второго порядка с пропорционально-дифференцирующим (форсирующем) звеном

Рис. 15 Переходная характеристика последовательного соединения звеньев

При ненулевых начальных условиях система становится неустойчивой, переходная характеристика, представленная на рисунке 16 и на рисунке 17, расходится.

Рис. 16 Переходная характеристика  последовательного соединения апериодического звена второго порядка с форсирующим звеном при начальных условиях со значением 0.001(на втором интеграторе)

Рис. 17 Переходная характеристика  последовательного соединения апериодического звена второго порядка с форсирующим звеном при начальных условиях со значением 0.1 (на втором интеграторе)

При малых возмущениях система остаётся не устойчивой, но значительно падает амплитуда сигнала, переходная характеристика, представленная на рисунках 18.

Рис 18 Переходная характеристика последовательного соединения апериодического звена второго порядка с пропорционально-дифференцирующем звеном при малом возмущении 0.001 (добавлена ПФ со значением W(s)=0.001)

Рис 14 Схема последовательного соединения апериодического звена второго порядка с пропорционально-дифференцирующим (форсирующем) звеном при малом возмущении 0.001 (добавлена ПФ со значением W(s)=0.001)

На рисунке 20 изображены переходные характеристики звена с ПФ  при изменении  . При изменении  система становится неустойчивой, при d₂ < 0.5 стремление переходной характеристики к + происходит быстрее, чем при d₂ > 0.5.

Рис. 20 Переходные характеристики звена с ПФ   при изменении

w: =0.5 , w1: =0.1 ,  w2: =0.9

На рисунке 21 изображены переходные характеристики звена с ПФ  при изменении  . При d₁ < 0.5 переходная характеристика стремится к +  быстрее, чем при d₁ > 0.5. Аналогично при изменении коэффициента d_2.

Рис. 21 Переходные характеристики звена с ПФ  при изменении                    

w: =0.5 , w1: =0.1 ,  w2: =0.9

На рисунке 22 изображены переходные характеристики звена с ПФ   При d₀ < -1 переходная характеристика стремится к +  быстрее, чем при d₀ > -1. Аналогично при изменении коэффициента d₂ и d₁.