Наибольшие трудности и интерес для повышения строгости самого мат. Знания – проблема бесконечности, в частности можно рассмотреть на примере бесконечно малой величины, создателе мат. Анализа Ньютон и Лейбниц четко не определили понятие бесконечно малой и в 18 тоже не было ясности, Эйлер – имеется бесконечно малая величины разного порядка., но не равные нулю арифметизации математики, сведение всей математики к принципам ... но при этом...
с одной стороны теория множеств – понимала понятие актуальной бесконечности – тоесть завершенной. Кантер ссылался на Августина блаженного - никакое знание не может превышать знание божьее Считал что бесконечность существуют в действительности, в математики ээто просто отражение и другой подход – Лепольд Кронекер , Господь бог создал числа остальное дело рук человеческих. И считал, что надо исходить из потенциальной бесконечности из бесконечности натурального ряда. Бесконечность понимается математиками менее очевидной, менее ясной. Рациональные числа относятся к счетным множествам , действительные к множествам континуума, то есть бесконечность точек больше, чем бесконечность.
Часть множества эквивалентна целому – одно из определений бесконечности. Ее эквивалентность иногда можно показать наглядно, например окружность рисунок (с вырезанным углом)
У Канта математика рассматривается как результат, того, что наше сознание, мышление организовано у всех людей таким образом, что для нас это априорные, не связанные с опытом, формы чувственного созерцания. ... попытка логициста , Кант вводит трансцендентальное основание ( логическое основание) При этом Кант исходил из того, что знание можно сравнивать только со знанием, а не с окруж. Действительностью, так как все что в нашей голове это не совсем то, что вне ее.
Концепция ....
Вообще знания а тем более мат=е надо строить исходя не из личного опыта, не изучая окр. Действительность а за счет мобилизации ресурсов априорных способностей. И считал, что в основе бесконечно малая величина, и определял математику исходя из бесконечно малой величины, но возвращаясь, к бесконечно малой был действенный аргумент – а кто ее видел, если исходить из ф. Представлений неокантианцев, то существует то, что воспринимается, а то что не воспринимается то не существует. В данном случае бесконечно малая бесконечность не воспринимается. Но тем не менее с конца 19 века можно исходя из понятий и принципов обосновать теоритическое знание.
Основоположником логицизма – философ Фреги ввел квантовые общности , основатель логики высказываний,написал в двух тома основания арифметики. Ему казалось, что он полностью обосновал вопросы, которые касаются доказательности сущствующий мат. Представлений.
Однако этой же проблемой стали заниматься Бертран Рассел (логик, математик, общественный деятель)Рассел обозначил, что у Фреги есть узкие места в рассуждениях и его взгляды приводят к ряду неразрешимых парадоксов, Фреги с этим согласился. Парадокс Рассела: в деревне есть парикмахер который бреет всех но не самого себя должен ли он себя брить? - это словесное обозначение математического парадокса. Эта ситуация она привела к тому что в конечном счете решение было найдено Куртом Геделем. 30-е года. Показал, что в кантеровской теории множеств и обосновании арифметики имеются такие утверждения, которые нельзя не доказать не опровергнуть. Континуум гипотеза Кантера. Если мы рассматриваем бесконечность актуального ряда и бесконечность континуума, то.... бесконечность.
Было мат. Строго доказано, что эту гипотезу нельзя не доказать не опровергнуть.
Рассел написал фундаментальный труд, что дало пользу для поседующего логического позитивизма.
После Геделя логицизма не оправдался.
И перешли к формализму австрийский математик Гилберт он разработал концепцию формализма согласно которой вычисления можно свести к какому-то алфавиту, и надо выработать особый язык и уже им оперировать.
Книги по метаматематики.
Работы Геделя показали, недостаточность такого подхода как формализм, поскольку тут не только мат. Знание, строго говоря всякое знание не может быть полностью формализовано, то есть представлено в виде знаковых систем. Так как формализация – соотнесении того что в голове со знаками на бумаге. Например эмоции нельзя формализовать.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.