Построение эпюр поперечных сил, изгибающих моментов и выбор сечения балок. Правила построения эпюр

Министерство образования РФ

Санкт-Петербургский государственный горный институт имени

Г.В. Плеханова (Технический Университет)

Кафедра механики

Расчётно-графическая работа № 2

Вариант №11

По дисциплине: Сопротивление материалов

Тема: Построение эпюр поперечных сил, изгибающих моментов и выбор сечения балок

Выполнил: студент группы ГМ-01-1          _________             / /

Проверил: доцент кафедры механики        _________            / /

Санкт-Петербург

2003 г.

Задача № 1

Дано:

q₁=15кН/м

q₂=20кН/м

[s]=160МПа=1600кг/см²

 

Поскольку опора представляет собой

                                                                                           защемление (заделку), реакции этой

                                                                                               опоры можно не определять. Они полу

                                                                                            чатся автоматически при построении

                                                                                              эпюр перерезывающих сил и изгибаю

                                                       щих моментов.

Будем рассматривать сечения по дли

                                                               не балки – СЛЕВА.

                                                                                                 Правила построения эпюр:

Перерезывающая сила (слева) (+) ¯(-)

Изгибающий момент (слева)    (+)    (-)

Эпюра Q(x)                           

Участок № 1; 0£x₁£3; Уравнение для Q(x₁)

(слева)  Q(x₁)=q₂x₁-уравнение наклонной

    прямой

               x₁=0; Q(x₁)=0

                                          x₁=3; Q(x₁)=q₂*3=20*3=60кН

Участок № 2; 3£x₂£5; Уравнение для Q(x₂)

  Q(x₂)=q₂*x₂-q₁(x₂-3)-уравнение наклон

ной прямой

                                x₂=3; Q(x₂)=q₂*3=60кН

                                         x₂=5; Q(x₂)=q₂*5-q₁*2=100-30=70кН

Участок № 3; 5£x₃£7; Уравнение для Q(x₃)

              Q(x₃)=q₂*3-q₁(x₃-3)+q₂(x₃-5)-уравнение

наклонной прямой

                                           x₃=5; Q(x₃)=q₂*5-q₁*2=70кН

                      x₃=7; Q(x₃)=q₂*7-q₁*2+q₂*2=

=140-60+40=120кН

Эпюра M(x)                          

Участок № 1; 0£x₁£3; Уравнение для M(x₁)

M(x₁)=q₂x₁(x₁/2)-уравнение

параболы

               x₁=0; M(x₁)=0

                                          x₁=3; M(x₁)=q₂*3*1.5=90кН

По правилу «зонтика» парабола

выпуклостью – ВНИЗ

Участок № 2; 3£x₂£5; Уравнение для M(x₂)

M(x₂)=q₂*3(x₂-1.5)-q₁((x₂-3)²/2)-уравнение параболы

x₂=0; M(x₂)=q₂*3*1.5=90кН

x₂=2; M(x₂)=q₂*3*3.5-q₁*2=210-30=180кН

По правилу «зонтика» парабола выпуклостью – ВВЕРХ

Участок № 3; 5£x₃£7; Уравнение для M(x₃)

(слева)                         M(x₃)=q₂*3(x₃-1,5)-q₁*2(x₃-4)+q₂ ((x₃-5)/2)-уравнение параболы

x₃=0; M(x₃)=q₂*3*3.5-q₁*2*1=180кН

x₃=2; M(x₃)=q₂*3*5.5-q₁*2*3+q₂*2=330-90+40=280кН

Реакция в заделке:

åY=0;             q₂*3-q₁*2+q₂-R_c=0;

60-30+40-R_c=0;          R_c=70кН

Момент в заделке:

åM_A=0;          -q₂*3*5.5+q₁*2*3-q₂*2*1+M_A=0;

-330+90-40+M_A=0;    M_A=280кН*м

Условие прочности:

s_max = |M_изг^max| / W £ [s]

Момент сопротивления для круглого сечения:     W = (pd³) / 32=280*10³ /160*10⁶=1,75*10^-3м

Из условия прочности:

d =

Задача № 2

h     h/b=2

Дано:

q=20кН/м

P=15кН

b

M₀=20кН*м

[s]=160МПа=1600кг/см²

Определяем неизвестные реакции опор, составляя уравнения статики

åМ_А=0:     -М₀-P*3-q*4*5+R_B*7=0

-20-45-400+R_B*7=0

R_B = 465 / 7 = 66,43кН

åМ_B=0:    -М₀-R_A*7+P*4+q*4*2=0

-20-R_A*7+60+160=0

R_A = 200 / 7 = 28,57кН

Проверка:

åY=0:       R_A-P-q*4+R_B=0

28.57-15-80+66.43=0

Реакции опор определены правильно.

Эпюра Q(x)

Участок № 1:  0£x₁£3 Уравнение для Q(x₁)

Q(x₁)=R_A – не зависит от x₁

прямая, параллельная оси Х

x₁=0; Q(x₁)=R_A=28.57кН

x₁=3; Q(x₁)=R_A=28.57кН

Участок № 2:  3£x₂£7 Уравнение для Q(x₂)

Q(x₂)=-R_А-Р-q(x₂-3)–уравнение наклонной прямой

x₂=3; Q(x₂)=R_А-Р=13,57кН

x₂=7;  Q(x₂)=R_А-Р- q*4= =28,57-15-80=-66,43кН

В точке приложения сосредоточенной силы P=15кН, на эпюре Q(x) будет наблюдаться скачок, равный величине этой силы.

Эпюра Q(x₂) пересекает ось Х, меняя знак с минуса на плюс.

Эпюра M(x)

Участок № 1:             0£x₁£3;           Уравнение для M(x₁)    M(x₁)=M₂+R_Ax₁-уравнение     

наклонной прямой.

x₁=0:    M(x₁)=M=20кН*м

x₁=3:    M(x₁)=M+R_A*3=20+28.57*3=105.71кН*м

Участок № 2:             3£x₂£7; Уравнение для M(x₂)M(x₂)=R_Аx₂+М-Р(х₂-3)-q((x₂-3)²/2)-уравнение параболы.

Для построения этой параболы найдём три её точки

X₂=3:   M(x₂)=28,57*3+20=105,71кН*м

X₂=4:   M(x₂)=28,57*7+20-60-160=0

Определим координату  х₂, при которой Q(x₂)=0

R_А-Р-q*(x₂-3)=0 ® x₂=R_А-Р+q*3/q=28.57-15+60/20@3,68м

М=R_A*x₂+M₂-P(x₂-3)-q((x₂-3)²/2)=105,14+20-10,2-4,6=110,34кН*м

Условие прочности:

s_max = |M_изг^max| / W £ [s]

Максимальный изгибающий момент с эпюры M(x):

W=|M_изг^max|/[s_И]=110,34*10³/160*10⁶=0,69*10^-3

Момент сопротивления для прямоугольного сечения:    W = (bh²) / 6; h/b=2   h=2b;

Из условия прочности:

W = (4b³) /6 ;

b ³

h = 2b = 10.1*2 = 20.2см

Задача № 3

M

 

                                                                Дано:

q=20кН/м

P=15кН

M₀=20кН*м

[s]=160МПа=1600кг/см²

Определяем неизвестные реакции опор, составляя уравнения статики

åМ_A=0:   P*3-q*4*5+R_B*6+M₀=0

                               45-400+R_B*6+20=0

                               R_B = 335 / 6 = 55.83кН

                                  åМ_B=0:-R_A*6+P*3+q*4*1+M₀=0

-R_A*6-45+80+20=0

R_A = 55 / 6 = 9.17кН

Проверка:

åY=0:       R_A+P-q*4+R_B=0

                              9.17+15-80+55.83=0

Реакции опор определены правильно.

Эпюра Q(x)

Участок № 1:  0£x₁£3 Уравнение для Q(x₁)

Q(x₁)=R_A – не зависит от x₁ прямая,                          параллельная оси Х

x₁=0; Q(x₁)=R_A=9.17кН

             x₁=3; Q(x₁)=R_A=9.17кН

Участок № 2:  3£x₂£6

Уравнение для Q(x₂)=R_A+P-q(x₂-3)

42,1

                  x₂=3; Q(x₂)=9.17+15=24.17кН

x₂=6;Q(x₂)=R_A+P-3q=9.17+15-60=-35.83кН

В точке приложения сосредоточенной силы P=15кН, на эпюре Q(x) будет наблюдаться скачок, равный величине этой силы.

20

Эпюра Q(x₂) пересекает ось Х, меняя знак с плюса на минус.

Участок № 3:             0£ x₃£1; Уравнение для Q(x₃)

(справа)                                    Q(x₃)=qx₃ –уравнение наклонной прямой

x₃=0; Q(x₃)=0

x₃=1;Q(x₃)=q*1=20кН

В точке приложения реакции опоры R_B=55,83кН, на эпюре Q(x) будет наблюдаться скачок, равный величине этой силы.

Эпюра M(x)

Участок № 1:             0£x₁£3;           Уравнение для M(x₁)    M(x₁)=R_Ax₁-уравнение      наклонной прямой.

x₁=0:    M(x₁)=0

x₁=3:    M(x₁)=R_A*3=9,17*3=27,51кН*м

Участок № 2:             3£x₂£6;           Уравнение для M(x₂)    M(x₂)=R_Ax₂+P(x₂-3)-q((x₂-3)²/2)-уравнение параболы.

X₂=3:   M(x₂)=9.17*3+0-0=27.51кН*м

X₂=6:   M(x₂)=R_A*6+P*3-q*3*1.5=9.17*6+15*3-20*4,5=10кН*м

Участок № 3:             0£ x₃£1; Уравнение для M(x₃)

(справа)                                    M(x₃)=M-q(x₃²/2) –уравнение параболы.

x₃=0; M(x₃)=M=20кН*м

x₃=1;M(x₃)=M-q*0.5=20-10=10кН*м

Эпюра Q(x₂) пересекает ось Х, меняя знак с плюса на минус.

Определим координату  х₂, при которой Q(x₂)=0

Q(x₂)=R_A+P-q*(x₂-3)=0 ® x₂=R_A+P+q*3/q=(9.17+15+60)/20=4,2м

M¹¹=R_A*x₂+P(x₂-3)-q((x₂-3)²/2=38,5+18-14,4=42,1кН*м

Условие прочности:

s_max = |M_изг^max| / W £ [s]

Из условия прочности:

W =42,1*10³/160*10⁶=0,26*10^-3м³=260см³

Из таблицы стандартных профилей ГОСТ-8239-56 находим ближайшее большее к расчётному значение W = 289см³.

Выбираем двутавр № 24.

Задача№4

Дано:

4

2

M0

RA

P

q

Rc

A

B

C

X1

X2

X3

2

Q(x)

10

10

0

0

0

+

-

-5

-5

-85

M(x)

0

-20

-10

0

-190

-

q=20kH/м

          P=15kH

          M=20 kHм

Mc

        

=0;М-Р*2-q*4*6+R_с*8-M_с=0  M- 10*8+P*6+q*4*2- M_C=0

; M- R_A*2=0

R_A=;

M-R_A*8+P*6+q*4*2-M_C=0 :

M_C=190 kHм

М-Р*2-q*4*6+R_с*8-190=0:

R_с=85 kH

Проверка:

; R_A-Р-q*4+ R_с=0

10-15-80+85=0

Участок №1 ; уравнение для Q(x₁), Q(x₁)= R_а- не зависит от x₁-прямая параллельна оси x.

x₁=0; Q(x₁)= R_а=10 кН

x₁=3; Q(x₁)= R_а=10 кН

Участок №2:   уравнение для Q(x₂), Q(x₂)= R_А-Р не зависит от x₂-  прямая параллельная оси x

x₂=0; Q(x₂)= R_А-Р =10-15=-5 кН

x₂=3; Q(x₂)= R_А-Р =10-15=-5  кН

В точке приложения сосредоточенной силы Р=15 кН на эпюре Q(x) будет наблюдаться скачок, равный величине этой силы.

Участок №3; ;уравнение для Q(x₃): Q(x₃)= R_А-Р -q*(x₃–4) уравнение наклонной прямой

x₃=4; Q(x₃)= R_А-Р=-5 kH

x₃=8; Q(x₃)= R_А-Р- q*4=-85kH

Эпюра М(х):

Участок №1  ; уравнение для М(x₁), М(x₁)= R_Аx₁-M -уравнение наклонной прямой

x₁=0; М(x₁)=-20 kHм

x₁=2; М(x₁)= 20-20=0 – шарнир в «В»

Участок №2:  ; уравнение для М(x₂), М(x₂)= R_А*x₂-Р*(x₂-2)-M – уравнение