Расчет статически неопределимых стержневых систем. Расчетная схема напряженного состояния конструкции

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ПЕРВОЕ ВЫСШЕЕ ТЕХНИЧЕСКОЕ УЧЕБНОЕ ЗАВЕДЕНИЕ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГОРНЫЙ ИНСТИТУТ ИМ. Г.В. ПЛЕХАНОВА (ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра механики

РГР №1

«Расчет статически неопределимых стержневых систем»

По дисциплине      «Сопротивление материалов»

^{(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)}

Вариант 112

Выполнил: студент гр.   ОП-04    ________               

^{(подпись)                    (Ф.И.О.)}

ДАТА:   

ПРОВЕРИЛ:

Профессор каф.механики                / /

^{(должность)                                         (подпись)                                           (Ф.И.О.)}

Санкт-Петербург

2006

Вариант112

Задание:

Расчитать площади поперечных сечений стержней 1 и 2,исходя из расчета на прочность ,при одновременном действии на конструкцию нагрузки Р,монтажных напряжений и температурных напряжений.

а=4м,б=2м,с=6м,h=1,5м,

Стержень 1-алюминий,2-сталь.

Решение:

1.Расчет конструкции под действием сил P и q.

1)Расчетная схема напряженного состояния конструкции.

Из рассмотренного уравнения (1) видно,что система один раз статически неопределима.Поэтому с целью получения уравнения совместной деформации стержней 1 и 2,исследуем деформационное состояние системы.

2)Расчетная схема деформационного состояния конструкции.

1,2-положение стержней до деформации

-положение стержней после воздействия на них внешних сил.

Рассмотрим 2 подобных треугольника АВВ и АСС,получим:

Проверка:(полученные значения подставляем в уравнение (1))

Так как оба стержня сжимаются ,то

2.Расчет конструкции на неточность изготовления стержня 2.

P=0,

Рассмотрим подобие треугольников АВВ И АСС,из подобия получим отношение:

BB и CC подставим в уравнение (2),раскрыв при этом  и  по закону Гука.

Решая совместно уравнения (1) и (3) находим выражения для и:

Поскольку одной из задач РГР является определение площадей стержней (мы их не знаем) мы переходим сразу к определению напряжений.

Проверка:Подставим полученные значения и  в уравнение (1),поделив и домножив на,а на.Знаем ,что

Поскольку стержень 1 растягивается,то ,а так как стержель 2 –сжимается,то

3.Расчет контрукции на изменение температуры стержней.

Р=0,=0,,(охлаждают только один стержень)

Рассмотрим подобие треугольников BBA и ССА:

Подставив значения ВВ и СС в уравнение (2),далее раскрываем по закону Гука,при этом зная,что:

Заменим  по закону Гука:

Из уравнения (1) выражаем зависимость между  и:

Поделим и домножим на,а на.Знаем ,что:

Решая совместно уравнения (3),(4) и (5),находим  и:

Поверка: Подставим полученные значения и  в уравнение (1),поделив и домножив на,а на.Знаем ,что

Поскольку стержень 1 растягивается,то ,а так как стержель 2 –сжимается,то  

4.Расчет сечений (площадей) стержней 1,2.

Поскольку исходные условия соотношения площадей не выполнимы,мы должны подобрать новые значения площадей.При этом они не должны быть меньше найденных значений площадей из прочностных расчетов .

Окончательно выбираем следующие значения площадей: