Поиск экстремума функции. Нахождение экстремума функции, заданной аналитическим выражением. Расчет и построение эпюры приведенного давления

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

 

Кафедра обогащения полезных ископаемых

Расчетно-графическое задание №3

По дисциплине: Основы научных исследований

ПОИСК ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ

Выполнила студентка группы ОП-02:

Проверила ассистентка

Санкт-Петербург

2006

ПОИСК ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИИ

Цель работы:отыскание экстремума функции одной переменной аналитическим путем и одним из численных методов.

1. Нахождение экстремума функции, заданной аналитическим выражением

Общие сведения:

Задается следующая функция, экстремум которой требуется определить:

, где – «приведенное» давление в масляном клине подшипника мельницы;

b – относительный эксцентриситет подшипника;

– угловая координата эпюры давления.

Решение:

Находим экстремум функции,  решая уравнение:

Выведем производную функции:

Упростим выражение:

Решаем уравнение и находим экстремум функции:

При получаем уравнение:

Расчет и построение эпюры приведенного давления

По заданному значению b рассчитываем и строим эпюру приведенного давления с учетом координат экстремума. Расчет производился с применением электронных таблиц Excel 2002. Результаты вычислений заносим в таблицу 1.

 Таблица 1

№ пп
1	0	0,000	0,000
2	10	0,175	0,028
3	20	0,349	0,056
4	30	0,524	0,083
5	40	0,698	0,110
6	50	0,873	0,135
7	60	1,047	0,159
8	70	1,222	0,181
9	80	1,396	0,200
10	90	1,571	0,215
11	100	1,745	0,224
12	110	1,920	0,227
13	120	2,094	0,222
14	130	2,269	0,207
15	140	2,443	0,183
16	150	2,618	0,148
17	160	2,792	0,105
18	170	2,967	0,054
19	180	3,142	0,000

Эпюра представлена на рис.1.

Рис.1 Эпюра приведенного давления в масляном клине

2. Отыскание экстремума функции одной переменной методом поразрядного приближения.

Общие сведения:

Задача поиска экстремума некоторой целевой функции  y = F(x) сводится к нахождению интервала  [a;b], в котором находится экстремум, и к его сужению. Будем искать максимум  F(x). Поскольку при однократном прохождении экстремума (х меняется с шагом Dх), знак приращения F(x) может не изменяться (см. рисунок 2), следует перед дроблением  Dх  предусмотреть возврат на два шага после изменения знака приращения F(x).

Y=F(x)

 

                

                                                                       x   

x₀  x₁  x₂  x_max x₃ x₄  x₅

	Рис.2. Поиск экстремума функции методом пораз-рядного приближения

 

ΔQ = 10°;  ε = 0,01;  ΔY = Y_n+1-Y_n;  ΔY > ε

Расчет производился с применением электронных таблиц Excel 2002. Результаты вычислений заносим в таблицу 2.

Таблица 2

№ пп	x, град	Y
1	0	0,000
2	10	0,028
3	20	0,056
4	30	0,083
5	40	0,110
6	50	0,135
7	60	0,159
8	70	0,181
9	80	0,200
10	90	0,215
11	100	0,224
12	110	0,227
13	120	0,222
14	130	0,207
15	140	0,183
16	150	0,148
17	160	0,105
18	170	0,054
19	180	0,000

Из таблицы видим, что ΔY = Y_n+1 – Y_n = Y₁₂ – Y₁₁ = 0,227–0,224 = 0,03

ΔY = Y_n+1–Y_n = Y₁₃–Y₁₂ = 0,222–0,227 = -0,05

Y_max= 0,227 – экстремум функции.

Рис.3. Поиск экстремума функции методом поразрядного приближения

Вывод: Данная методика позволяет найти экстремум функции, который в свою очередь является (в данном случае) оптимальным давлением подачи масла в клин подшипника.

Контрольные вопросы

1. Какие вы знаете способы поиска экстремума для недифференцированных функций?

– Нахождение экстремума функции заданной аналитическим выражением;

– Отыскание экстремума функции одной переменной методом поразрядного             приближения.

2. В чем суть градиентного метода?

Основная идея метода состоит в том, чтобы двигаться к минимуму в направлении наиболее быстрого убывания функции, который определяется антиградиентом.

3. Охарактеризуйте методы покоординатного спуска и наискорейшего спуска.

С помощью метода покоординатного спуска мы построим последовательность точек  М₀, М₁, М₂ и т.д. и которой соответствует монотонная последовательность значений функции f(M₀)≥f(M₁) ≥f(M₂) и т.д. Отрывая этот процесс на некотором шаге К, можно приблизительно принять за оптимум значения функции на этом шаге f(M_K).

Согласно методу наискорейшего спуска после вычитания в начальной точке градиента функции делают в направлении антиградиента не маленький шаг, а движется до тех пор пока функция убывает. Достигнув точки минимума на выбранном направлении, снова вычисляют градиент функции и повторяют описанную процедуру. При этом градиент вычисляется гораздо реже, только при смене направления движения. Хотя траектория ведет к цели не так быстро, как в случае градиентного спуска, экономия машинного времени, за счет более редкого вычисления градиента, может быть весьма существенной.