Аппроксимация экспериментальных данных по методу наименьших квадратов. Составление системы нормальных уравнений

Федеральное агентство по образованию

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

Кафедра обогащения полезных ископаемых

Расчетно-графическое задание №8

По дисциплине: Основы научных исследований

АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ПО МЕТОДУ НАИМЕНБШИХ КВАДРАТОВ

Выполнил студент группы ОП-00:

Проверил: доц.

Санкт-Петербург

2004

АППРОКСИМАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ ПО МЕТОДУ НАИМЕНБШИХ КВАДРАТОВ

Цель работы: научиться по заданному классу функций аппроксимировать экспериментальные данные методом наименьших квадратов.

Используемое оборудование: персональный компьютер или инженерный микрокалькулятор.

Общие сведения

Для аппроксимации по методу МНК линейной зависимости   (т.е. нахождения коэффициентов    и   необходимо решить систему так называемых нормальных уравнений):

В данной работе необходимо будет научиться аппроксимировать экспериментальную выборку данных тем или иным видом функций (полиномом, экспоненциальной, показательной и др.).

ИСХОДНЫЕ ДАННЫЕ

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Линеаризуем выражение . Для этого прологарифмируем левую и правую части уравнения:

.

2. Составим систему нормальных уравнений:

Тогда получим расчётную систему уравнений.

3. Для удобства решения системы уравнений составим вспомогательную табл.1.

Таблица 1

4. Решим систему уравнений, подставим найденные значения из вспомогательной таблицы:

Для упрощения записей введём некоторые обозначения:

Из первого уравнения выразим x:

Подставив  во второе уравнение, получим:

Так как мы приняли  и  , то  и  будут следующие:

5. После вычислений методом наименьших квадратов заданное уравнение будет выглядеть следующим образом:

6. Сделаем проверку. Подставим в уравнение  иксы, чтобы полученные по этому уравнению игреки сравнить с исходными из таблицы задания:

7. Вывод: Учитывая близкую сходимость результатов, можно утверждать, что аппроксимируемая функция адекватна реальному проекту.