Информатика и выч. техника \ Информатика

Кратные интегралы. Двойные интегралы. Тройные интегралы. Элементы теории поля. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление

Страницы работы

54 страницы (Word-файл)

Посмотреть все страницы

Скачать файл

Фрагмент текста работы

разложение общего вида функции получим, используя уже вычисленные коэффициенты. Продолжим сначала функцию нулем на полуинтервал :

а затем рассмотрим периодическое продолжение функции на всю числовую ось (оно же будет периодическим продолжением функции ) (рис. 3.4). Поскольку , то значит ее разложение в ряд Фурье

, , где

, , то есть функция раскладывается в ряд Фурье по синусам и косинусам:

При этом

, .

График суммы ряда Фурье изображен на рис. 3.5.


рис. 3.4	рис. 3.5

4. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление

4.1. Комплексные числа

Комплексным числом называется арифметическое выражение вида

(4.1)

где - действительные числа, а - специальный символ, который называется мнимой единицей. Для мнимой единицы по определению считается, что .

(4.1) – алгебраическая форма комплексного числа, причем называется действительной частью комплексного числа, а - мнимой частью.

Число называется комплексно сопряженным к числу .

Пусть даны два комплексных числа , .

1. Суммой комплексных чисел и называется комплексное число

2. Разностью комплексных чисел и называется комплексное число

3. Произведением комплексных чисел и называется комплексное число

4. Частным от деления комплексного числа на комплексное число называется комплексное число

Замечание 4.1. То есть операции над комплексными числами вводятся по обычным правилам арифметических операций над буквенными выражениями в алгебре.

Пример 4.1. Даны комплексные числа . Найти

Решение. 1).

2).

4) Домножая числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число, получаем

Тригонометрическая формакомплексного числа:

, где - модуль комплексного числа, - аргумент комплексного числа. Угол определен неоднозначно, с точностью до слагаемого :

, .

- главное значение аргумента, определяемое условием

, (или ).

Показательная форма комплексного числа:

Корень й степени числа имеет различных значений, которые находятся по формуле

(4.2)

где .

Точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.

Пример 4.2. Найти все значения корня .

Решение. Представим комплексное число в тригонометрической форме:

, откуда .

Тогда . Следовательно, по формуле (4.2) имеет четыре значения:

, .

Полагая , находим

, ,

, .

Здесь мы преобразовывали значения аргумента к его главному значению.

Множества на комплексной плоскости

Комплексное число изображается на плоскости точкой с координатами . Модуль и аргумент соответствуют полярным координатам точки .

Полезно помнить, что неравенство задает круг с центром в точке радиуса . Неравенство задает полуплоскость, расположенную правее прямой , а неравенство - полуплоскость, расположенную выше прямой . Кроме того, система неравенств задает угол между лучами и , выходящими из начала координат.

Пример 4.3. Нарисовать область, заданную неравенствами: .

Решение. Первому неравенству соответствует кольцо с центром в точке и двумя радиусами 1 и 2, окружности в область не входят (рис. 4.1).

Второму неравенству соответствует угол между лучами (биссектриса 4 координатного угла) и (положительное направление оси ). Сами лучи в область не входят (рис. 4.2).

Искомая область является пересечением двух полученных областей (рис. 4.3)


рис. 4.1	рис. 4.2	рис. 4.3

4.2. Функции комплексного переменного

Пусть однозначная функция определена и непрерывна в области , а - кусочно-гладкая замкнутая или незамкнутая ориентированная кривая, лежащая в . Пусть, как обычно, , , где , - действительные функции переменных и .