Кратные интегралы. Двойные интегралы. Тройные интегралы. Элементы теории поля. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление

разложение общего вида функции  получим, используя уже вычисленные коэффициенты. Продолжим сначала функцию  нулем на полуинтервал :

а затем рассмотрим периодическое продолжение  функции  на всю числовую ось (оно же будет периодическим продолжением функции ) (рис. 3.4). Поскольку , то значит ее разложение в ряд Фурье

, , где

, , то есть функция  раскладывается в ряд Фурье по синусам и косинусам:

.

При этом

, .

График суммы ряда Фурье  изображен на рис. 3.5.

4. Теория функций комплексного переменного. Операционное исчисление

4.1. Комплексные числа

Комплексным числом  называется арифметическое выражение вида

где  - действительные числа, а  - специальный символ, который называется мнимой единицей. Для мнимой единицы по определению считается, что .

(4.1) – алгебраическая форма комплексного числа, причем  называется действительной частью комплексного числа, а  - мнимой частью.

Число  называется комплексно сопряженным к числу .

Пусть даны два комплексных числа , .

1. Суммой  комплексных чисел  и  называется комплексное число

.

2. Разностью  комплексных чисел  и  называется комплексное число

.

3. Произведением  комплексных чисел  и  называется комплексное число

.

4. Частным  от деления комплексного числа  на комплексное число  называется комплексное число

.

Замечание 4.1. То есть операции над комплексными числами вводятся по обычным правилам арифметических операций над буквенными выражениями в алгебре.

Пример 4.1.  Даны комплексные числа . Найти

.

Решение. 1).

2).

3)

.

4) Домножая числитель и знаменатель на комплексно сопряженное знаменателю число, получаем

.

Тригонометрическая формакомплексного числа:

, где  - модуль комплексного числа,  - аргумент комплексного числа. Угол  определен неоднозначно, с точностью до слагаемого :

,  .

 - главное значение аргумента, определяемое условием

, (или ).

Показательная форма комплексного числа:

.

Корень й степени числа имеет  различных значений, которые находятся по формуле

где .

Точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного угольника, вписанного в окружность радиуса  с центром в начале координат.

Пример 4.2.  Найти все значения корня .

Решение. Представим комплексное число  в тригонометрической форме:

,

, откуда .

Тогда . Следовательно, по формуле (4.2)   имеет четыре значения:

,  .

Полагая , находим

, ,

, .

Здесь мы преобразовывали значения аргумента к его главному значению.

Множества на комплексной плоскости

Комплексное число  изображается на плоскости  точкой  с координатами . Модуль  и аргумент  соответствуют полярным координатам точки .

Полезно помнить, что неравенство  задает круг с центром в точке  радиуса . Неравенство  задает полуплоскость, расположенную правее прямой , а неравенство  - полуплоскость, расположенную выше прямой . Кроме того, система неравенств  задает угол между лучами  и , выходящими из начала координат.

Пример 4.3.  Нарисовать область, заданную неравенствами: .

Решение. Первому неравенству соответствует кольцо с центром в точке  и двумя радиусами 1 и 2, окружности в область не входят (рис. 4.1).

Второму неравенству соответствует угол между лучами  (биссектриса 4 координатного угла) и  (положительное направление оси ). Сами лучи в область не входят (рис. 4.2).

Искомая область является пересечением двух полученных областей (рис. 4.3)

4.2. Функции комплексного переменного

Пусть однозначная функция  определена и непрерывна в области , а  - кусочно-гладкая замкнутая или незамкнутая ориентированная кривая, лежащая в . Пусть, как обычно, , , где ,  - действительные функции переменных  и .

Вычисление интеграла от функции  комплексного переменного  сводится к вычислению обычных криволинейных интегралов, а именно

Если функция  аналитична в односвязной области , содержащей точки  и , то имеет место формула Ньютона-Лейбница:

где  - какая-либо первообразная для функции , то есть  в области .

В интегралах от функций комплексного переменного можно производить