Трансформации геофизических полей с целью решения задач разведки. Разделение аномальных полей

3.Аналитическое продолжение аномалий

В результате аналитического продолжения аномалий на основе экспериментальных  данных, относящихся к поверхности измерений, получается распределение аномального поля во всем пространстве, не занятом возмущающими массами.

Опять сравниваем два шара:   1. Шар массой М на глубине z .  2. Шар массой n³М на глубине nz .

Для них имеем:    и   , откуда: .

Если в качестве поверхности приведения выбрать плоскость на глубине залегания верхнего тела (H_– = z, то есть аналитическое продолжение аномалии в нижнее полупространство), то получим:

        и          .

А поскольку n ¹ 1, то   – конечная величина и, значит, поле первого шара (V_z)₁ при аналитическом продолжении вниз возрастает быстрее, чем поле второго шара (V_z)₂ . Значит, оно подчеркивает аномалии от неглубоких тел, по сравнению с глубокими. Если же, напротив, аномалии (V_z)₁ и (V_z)₂ продолжить вверх на высоту H₊ = z, то:

,откуда:       .

Учитывая, что на первоначальной поверхности оно было равно n,  а здесь, на высоте Н, оно оказалось большим (> n), видим, что аналитическое продолжение вверх подчеркивает региональная составляющая по сравнению с локальной.

Трансформации геофизических полей (теоретические аспекты)

Вспомним сведения из теории преобразований Фурье:  Пусть F(x) – практически любая непериодическая функция, Тогда:

,  где  ;

здесь w – пространственная частота; ее размерность: [w] = рад/м; S(w) – комплексный спектр функции F(x).

Теоремы о спектрах

Теорема сложения:    Если   , то .

Теорема смещения: Пусть, тогда   .

Док-во: .

Спектр производной: Если, то   .

Доказательство: .

Но  поскольку , сл-но:. Аналогично: Для производной по параметру:.

Спектральные представления производных гравитационного и магнитного потенциалов

Случай двухмерных аномалий (горизонтальный цилиндр):

 .Спектр:.

Меняем порядок интегрирования:.

Учтем, что для интеграла в квадратных скобках имеет место:

.Опуская знак модуля при w в экспоненте (для удобства), имеем:

.        (a)  Принимая для плоскости наблюдений z = 0, получаем:  . А так как производная по параметру: , –то можем из (a) получить:  . Сравнив его с (a) , имеем:     и вообще: . Для пл-ти наблюдений z = 0:. Учитывая теорему Пуассона, для магнитного поля получим:. Для горизонтальных составляющих:        и:     .

Аналитическое продолжение аномалий

Для двухмерных возмущающих тел можно записать (на плоскости Q₁ – для прямой Q₁(x’,z’)):

, а для прямой Q₂(x”,z”) на плоскости Q₂ :

.Их спектры, соответственно (так же, как и при выводе формулы (a)):

,   .

Поделив их одно на другое, получаем:.

Здесь  – частотная характеристика аналитического продолжения  с уровня z’ на ур-нь z”.

Можно и наоборот:   – с характеристикой аналитического продолжения:

Окончательное выражение: .

Это – интеграл Пуассона для перехода (пересчета поля) на верхний уровень.

Покажем на примере производных V_xz и V_zz, что интеграл Пуассона справедлив и вообще для любых производных поля.

Аналогично тому, как выведено выражение для V_z(x”,z”), имеем:

. .

Для магнитного поля – по теореме Пуассона получаем:

.     .

В рамках спектрального анализа решается и задача выражения одних производных потенциала через другие: V_xÛV_z.

.Спектр:.

(Изменяем порядок интегр-ния, заменяем: x – x = t,). Спектр становится: .

Вспомним также: .Сравнивая их, видим:.

Записав это выражение для плоскостей Q₁ и Q₂ на нашем рисунке, т.е. для спектров S’(w) и S”(w) соответствующих функций, получим, аналогично прежнему случаю: (для V_z имели: ):

.Отсюда опять получаем формулу:

.Полагая плоскости Q₁ и Q₂ совпадающими (z” = z’), получим для одной