Матрицы и определители. Обратная матрица. Формулы Крамера. Метод Гаусса. Характеристический многочлен и спектр квадратной матрицы. Функции от матриц

=Действительно, ее характеристический многочлен (А) есть

20

Единственная диагональная матрица с таким же характеристическим многочленом — нулевая. Однако нулевая матрица не может быть подобна ненулевой: если А = Х — ^ИЛ , то А = (3. Из рассмотренного примера следует также, что совпадение характеристических многочленов не является достаточным (а лишь необходимым) условием подобия матриц.

Вместе с тем, ”большинство” матриц диагонализуемы. Приведем здесь Достаточные условия диагонализуемости, которые будут доказаны в последующих главах курса. Диагонализуемы все матрицы с простым спектром, все эрмитовы и все унитарные (см. ниже п. 9.4) матрицы. Эти классы даже в совокупности не исчерпывают все множество диагонализумьх матриц.

Легко понять, что для А = diag КАТ , , Ап} будет А^Т diag К АС, . , Ап^т } при натуральном т, и т = 0, а если все Ај отличны от нуля, то это верно и для любых Це.ЛЫХ т. Поэтому, если R(x) — рациональная функция, такая, что ЩА) имеет смысл, то ЩА) = diag {R(Al), , Теперь естественно для произвольной функции f(c) принять равенство

ЛА) = (liag {f(Al),

за определение функции ЛА) от диагональной матрицы А. Эго определение согласовано с определением рациональной функции от матрицы и с определением через ряды. Заметим также, что для диагональной матрицы тождество Кэли очевидно, поскольку

dA(A) = diag {dA(A1), . . .  = diag {0,

Это рассуждение переносится и на диагоналлзуемые матрицы. Действительно, если В = Х — ¹ АХ, где А = diag , А }, то для любого полинома р(с) верно р(В) откуда dB(B) = dA(B) =  = (О. Формулу

ЛВ) = X -l diag {f(Al)

естественно принять за определение произвольной функции f(m) от диагонализуемой матрицы В.

21

 9. Специальные классы квадратных матриц

1. Симметричные и кососимметричные матрицы. Матрица А € м^п называется симметричной, если Aⁱ = А, матрица В называется кососимметричной (или антисимметричной), если B^t = —В.

Всякую матрицу С Е м^п можно единственным образом представить в виде С = А + В, где А — симметричная, В кососимметричная матрицы. Действительно, 2С = (С + О) + (С — О), и можно положить = (С + О), 2В = (С — О). Очевидно, А = A^t , В = —B^t . С другой стороны, если С = А+В, где А = A^t и В = —B^t , то О A^t + B^t = А — В. Тем самым 2/1 = С + C^t , 2В = С — О, что показывает единственность представления.

Отметим некоторые свойства симметричных и кососимметричных матриц.

1.  Если матрица А симметрична (кососимметрична), то и матрица СА также симметрична (соответственно, кососимметрична).

2.  Если две симметричные матрицы коммутируют, то их произведение симметрично: (AlA2) ^t = A^t A^t = A2Al = 341 А).

З. Собственные значения вещественной симметричной матрицы вещественны, а сами такие матрицы №ахюнализуемы. Это будет доказано в одной из последующих глав.

4.  Диагональные элементы кососимметричных матриц равны нулю: Ькј —bjk, а потому Ькк = 0.

5.  Для характеристического многочлена кососимметричной матрицы верно соотношение (Ы (А)  действительно,

dB(A) = (В - М) = det (В - AI) ^t = det (-В - М) =

Тем самым, спектр кососимметричной матрицы симметричен относительно нуля; если dB(A) = 0, то и = 0. Кратности ненулевых собственных значений А и — А также совпадают. Если п нечетно, то det В = —det В, и нуль является собственным значением матрицы В.

22

Упражнение. Проверьте, что произведение коммутирующих кососимметричных матриц есть симметричная матрица.

2. Эрмитовы матрицы. Напомним, что сопряженной^[1] к матрице F называется матрица F*, для которой [F * ] = ЛК. по определению, матрица F е м^п называется эрмитовой, если