Вынужденные колебания одноосного вагона с учетом упругости пути

Вынужденные колебания одноосного вагона с учетом упругости пути.

        Математическая модель и её решение

Для выбора расчетной схемы примем следующие допущения.

Части вагона обладают только свойствами инерции, упругими свойствами не обладают.

Рессорное подвешивание обладает только упругими свойствами,  свойствами инерции и трения не обладает.

Путь обладает упругими свойствами и приведенной массой, свойствами трения не обладает.

Вагон в условиях данной задачи представим простейшей расчетной схемой.                      

Уравнения движения:

,             (1)

где

Деформации подвешивания, рельсового пути и смещение колесной пары соответственно равны

.

С учетом этих зависимостей уравнения движения примут вид:

          (2)

       Раскроем скобки и перенесем все

Рис.1. Расчетная схема        неизвестные силы влево. В итоге получим:

                                 (3)

Представим зависимость ординаты траектории точки контакта колеса и рельса относительно оси неровности выражением:

        

Преобразуем систему (3) – разделим каждое  уравнение на коэффициент при старшей производной и введем обозначения:

     В результате получим систему уравнений  в следующем виде:

                            (4)

Частное решение этой системы будем искать в виде гармонических функций, сходных с правой частью системы (4):

                                          (5)

где C, D, -неизвестные постоянные величины, подлежащие определению.

Подставим (5) в (4) и потребуем, чтобы коэффициенты при соответствующих тригонометрических функциях слева и справа от знака равенства были равны для любого момента времени.

                                 (6)

В итоге получена алгебраическая система (6)  двух неоднородных уравнений, с двумя неизвестными. Выпишем и раскроем её определитель                                    

             (7)   

Известно, что определитель (7) равен нулю при условии, что  и (из этого условия находятся собственные частоты ).

 Выпишем решение системы (6), используя формулы Крамера:

        

Теперь можно записать частное решение системы (6):

        

                                                            (8)

        

где –коэффициенты динамичности кузова и неподрессоренных частей, соответственно.

При изучении движения системы в течение длительного времени свободные колебания, как затухающие, интереса не представляют. Движение кузова будет, полностью определятся выражениями (8).

Анализ результатов

1)  При малых , скорость движения мала, кузов и неподрессоренные части повторяют траекторию рельсовой неровности без деформации упругих связей.

            

   2)     будут значительно возрастать при  (при этих условиях ), то есть проявляются два резонансных режима на двух критических скоростях.

3)  Отношения координат  при  равно , то есть соответствует собственным (главным) формам колебаний (см. Свободные колебания одноосного вагона с учетом упругости пути).

4)  При ,  – первая собственная форма.

При ,  – вторая собственная форма.

Выражения, определяющие координаты частей вагона при первом резонансе (), имеют вид

        ,  

Грофическое представление изменений коэффициентов динамичности  в зависимости от изменений  имеет вид представленный на рис.2.

                   

Рис. 2. Зависимости величин коэффициентов динамичности от изменений