Погрешности уточненных значений. Аппроксимирование квадратного трехчлена линейным методом. Расчет погрешностей и уточненных значений

Лист задания

Начальные условия: , , , , ,

Постановка задачи:

1.  Рассчитать погрешности уточненных значений.

1.1.  Рассчитать уравнения с шагом h.

1.2.  Рассчитать уравнения с шагом h/2.

1.3.  Оценить погрешности вычислений при решении задачи.

1.4.  Рассчитать уточненные решения y_ут.

1.5.  Составить таблицу данных 1.

1.6.  Построить график 1 – значений y_h, y_h/2, y_ут.

2.  Аппроксимирование квадратного трехчлена линейным методом.

2.1.  Составить таблицу 2 – рассчитанных значений для расчета коэффициентов.

2.2.  Составить систему уравнений.

2.3.  Решить систему уравнений методом Гаусса.

2.4.  Составить таблицу 3 – данных для расчета погрешности аппроксимации.

2.5.  Построить график 2 – значений y_h и F(x).

3.  Интерполирование.

3.1.  Построить интерполяционный многочлен Лагранжа и сгустить значения.

3.2.  Рассчитать погрешность интерполяции.

3.3.  Составить таблицу данных 4.

3.4.  Построить график 3 – значений y(x), F(x), P(x).

4.  Проанализировать полученные результаты

5.  Составить программу для проверки правильности расчетов

Содержание

Введение. 4

1.... Расчет погрешностей и уточненных значений.. 4

1.1 Расчет уравнений с шагом h. 4

1.2 Расчет уравнений с шагом h/2. 6

1.3 Оценка погрешности вычислений при решении задачи. 7

1.4 Расчет уточненных решений y_ут 8

1.5 Таблица данных 1. 9

1.6 График 1 - значений y_h, y_h/2, y_ут 11

2. Аппроксимирование квадратного трехчлена методом наименьших квадратов. 12

2.1 Таблица 2 - рассчитанных значений для расчета коэффициентов. 12

2.2 Составление системы уравнений. 12

2.3 Решение системы уравнений методом Гаусса. 13

2.4 Таблица 3 - данных для расчета погрешности. 14

аппроксимации “ξ_апп”. 14

2.5 График 2 – значений y_h и F(x) 15

3. Интерполяция. 16

3.1 Построение интерполяционного многочлена Ньютона. 16

и сгущение значений. 16

3.2 Расчет погрешности интерполяции. 18

3.3 Таблица данных 4. 20

3.4 График 3 - значений y(х), F(X) и P(x) 22

4. Анализ полученных результатов. 23

Заключение. 24

Введение

Настоящее время характеризуется резким расширением математики, что связано с созданием и развитием средств вычислительной техники. В результате появления ЭВМ с программным управлением, менее чем за 50 лет скорость выполнения операций возросла от 0,1 операции в секунду при ручном счете до 10¹² операций на современных серийных ЭВМ.

Мнение о всемогуществе современных ЭВМ порождает впечатление, разработка численных методов не столь важна. В действительности же, расширение возможностей приложения математики обусловило математизацию химии, экономики, биологии, географии, геологии и д.р. суть математизации состоит в построении новых математических моделей явлений и процессов, а также разработке методов их исследования.

1.  Расчет погрешностей и уточненных значений

1.1 Расчет уравнений с шагом h

Начальные условия: , , , ,

метод Эйлера-Коши, аппроксимирование методом квадратного трехчлена, составление многочлена Лагранжа.

Необходимо вычислить табличные значения решений квадратного уравнения, используя формулы: ; ; ;

1.  х₁ = 0,1

2.  х₂ = 0,2

3.  х₃ = 0,3

4.  х₄ = 0,4

5.  х₅ = 0,5

6.  х₆= 0,6

7.  х₇ = 0,7

8.  х₈ = 0,8

9.  х₉ = 0,9

1.2 Расчет уравнений с шагом h/2

1.  х₁ = 0,1

2.  х₂ = 0,2

.

.

.

5. х₅ = 0,5

.

.

.

9. х₉ = 0,9

1.3 Оценка погрешности вычислений при решении задачи

Допустимая погрешность на шаге определяется его максимальной величиной. Шаг интегрирования должен быть таким, чтобы быть существенно меньше интеграла, на котором решение дифференциального уравнения значительно изменяется. Удобный способ оценки погрешности и правильного выбора шага дает метод Рунге.

Погрешность для метода второго порядка точности можно вычислить по следующей формуле:

В результате расчетов пришлось уменьшить шаг до , чтобы выполнить условие вычисления погрешности.

1.4 Расчет уточненных решений y_ут

Если ξ_h/2 по модулю не больше допустимой погрешности, то шаг выбран правильно и находятся уточненные решения:

В противном случае шаг уменьшается вдвое и все повторяется.

1.  х₁ = 0,1

2.  х₂ = 0,2

.

.

.

9. х₉ = 0,9

.

1.5 Таблица данных 1.

			ξhi
0,100000	1,470387	1,471685	0,001731	1,478388
0,200000	2,173681	2,176455	0,003698	2,193262
0,300000	3,205241	3,210517	0,007035	3,244853
0,400000	4,709109	4,718558	0,012599	4,782654
0,500000	6,894874	6,911161	0,021716	7,024763
0,600000	10,066320	10,093667	0,036462	10,288284
0,700000	14,663307	14,708347	0,060053	15,033829
0,800000	21,322495	21,395582	0,097449	21,930238
0,900000	30,965262	31,082471	0,156278	31,948581

1.6 График 1 - значений y_h, y_h/2, y_ут

2. Аппроксимирование квадратного трехчлена линейным методом

2.1 Таблица 2 - рассчитанных значений для расчета коэффициентов

	0,000000	1,000000	0	0,000000
	0,100000	1,471685	0,1180965	0,010000
	0,200000	2,176455	0,2759441	0,040000
	0,300000	3,210517	0,4800156	0,090000
	0,400000	4,718558	0,7388427	0,160000
	0,500000	6,911161	1,0640695	0,250000
	0,600000	10,093667	1,4723116	0,360000
	0,700000	14,708347	1,9887026	0,490000
	0,800000	21,395582	2,6544217	0,640000
	0,900000	31,082471	3,5452178	0,810000
Σ	4,500000	96,470676	68,105267	2,850000

2.2 Составление системы уравнений

Сумма квадрата разности соответствует значению функции ƒ(x) и F(x):

Данная функция – сумма двух переменных (a, b), задача сводится к отысканию ее минимума. Функция двух переменных имеет минимум, когда все ее частные