Алгоритмы и структурные схемы ЦФ. Вычислительное устройство (физическая система или программа для ПЭВМ), страница 3

Принципиальное различие между нерекурсивными и рекурсивными фильтрами заключается в свойствах их импульсных характеристик. В первом случае импульсная характеристика содержит конечное число отсчётов, не превышающем N, а во втором,

a)                                              б)                           a

t

x(t)

y(k) = a0х(k) + a1х(k - 1) + a2х(k - 2);

        x[k –(N –1)]     N -1     g(k) = {a0 , a1, a2};   H(z) = C (a0 + a1z-1 + a2z-2)

Рис. 4

благодаря обратной связи, число отсчётов теоретически бесконечно велико. В связи с этим нерекурсивные фильтры часто называют КИХ-фильтрами (фильтры с конечной импульсной характеристикой), а рекурсивные - БИХ-фильтрами (фильтры с бесконечной импульсной характеристикой).

При этом структура и коэффициенты системной функции H(z) НЦФ однозначно связаны с коэффициентами импульсной функции g(k) фильтра, а в РЦФ эти связи выражены неявным образом. Отсчёты импульсной функции g(k) РЦФ, имеющей вид неогра-ниченно-протяжённой          последовательности, можно определить (используя свойства линейности и задержки z-преобразования) посредством суммирования соответствующих отсчётов импульсных функций звеньев 2-го порядка. 

Если полином знаменателя системной функции H(z) имеет вещественные коэффициенты, то его корни (полюсы) лежат либо на вещественной оси zплоскости (например, полюс z3), либо образуют комплексно-сопряжённые пары (например, полюсы z1 и z2, рис. 5). 

При определении нулей и полюсов в z-плоскости целесообразно преобразовать функцию H(z) к виду без отрицательных степепей z, т. е.

H(z) = a10++ba11zz−1−1++ba22zz−2−2 = a0zz22++b1az1z++b2a2 .

Откуда комплексно-сопряжённая пара полюсов

 z1,2 =−b1 / 2 ± j b2 b12 / 4 = re± jϕ= r cosϕ± jrsinϕ.

Приравняв вещественные и мнимые части

               − b1 / 2 = r cosϕ;       b2 b12 / 4 = b2 − r2 cos2 ϕ= rsinϕ,получим:

k) = g0(k)

где  g(rg0обратные=((k)b=2 a; 0ϕr kсоотношени=−+arccos(gsin1(ϕk) +bg/:2  2b(r)k)==, −−2arccos(r cosϕb1и/ 2b2b=2 r)2=).−sinarctg(kϕ)4,bk2=/1b,122,3−,...;1

                                            sin(k +1)ϕ, k =1 0,1,2,...; g1(k) = a1rk −1    sinϕ

Тогда импульсная функция звена 2-го порядка РЦФ 

При  а0 = 1 и а1 = а2 = 0 системная функция

H(z) =1/(1+ b1z1 + b2 z2 ) = z2 / z2 + b1z + b2 , а его реакция на единич-

  gg(k2)(k=)r=kasin2rksin(k2+ϕsin1)ϕsin(,kkϕ=1)0ϕ,1,, 2k,=...2, 3, 4,....

ный импульс δ(k)при нулевых начальных условиях

Выражение импульсной функции звена 1-го порядка РЦФ приведено на рис. 3, б.

Если системная функция РЦФ представлена в виде выражения (2), то импульсную функцию g(k) (см. (7)) фильтра записывают, пользуясь следующим мнемоническим правилом:

коэффициенты аn при δ(k n) равны коэффициентам числителя  функции H(z)

при z-k, k = 0, 1, 2,…, N - 1;

-  коэффициенты bm при g(k m) равны коэффициентам знаменателя (с обратным знаком) функции H(z) при z-k , k = 1, 2,…, М - 1.

                     Например, для звена                   2-го порядка РЦФ с системной функцией

H(z) = (a0 + a1z1 + a2z2 ) /(1+ b1z1 + b2 z2 ) импульсная функция g(k) = a0δ(k) + a1δ(k −1) + a2δ(k − 2) − b1g(k −1) − b2g(k − 2).

Для трёхзвенного РЦФ с системной функцией 

H(z) = a1+b11z −2 . a 1 +b22 z z2−2 . a1+b13z 1 +b23z 2−2 = 1 +b21z 2 1+b12 z

А

= 0 +А1z−11++22zz22++33zz−33++44zz44++55zz55++66zz66 ,

1+B1z где A0 = a01a02a03; A1 = a01a02a13 + a01a12a03 + a11a02a03;

A2 = a01a02a23 +a01a12a13 +a11a02a13 +a01a22a03 +a11a12a03 +a21a02a03; A3 = a01a12a23 +a11a02a23 +a01a22a13 +a11a12a13 +a21a02a13 +a11a22a03 +

+a21a12a03; A4 = a01a22a23 +a11a12a23 +a21a02a23 +a11a22a13 +a21a12a13 +     

+a21a22a03; A5 = a11a22a23 +a21a12a23 +a21a22a13; A6 = a21a22a23; B1 = b13+b12 +b11; B2 = b23 +b12b13 +b11b13 +b22 +b11b12 +b21;

B3 = b12b23 + b11b23 + b22b13 + b11b12b13 + b21b13 + b11b22 + b21b12;

B4 =b22b23+b11b12b23+b21b23+b11b22b13+b21b12b13+b21b22;

               B5=b11b22b23+b21b12b23+b21b22b13; B6 =b21b22b23,           

расчёт отсчётов импульсной функции можно вести, пользуясь выражением g(k) = А0δ(k) + А1δ(k −1) + А2δ(k − 2) + ... + А6δ(k − 6) − В1g(k −1) −В2 g(k − 2) − ... −В6g(k − 6).