Проектирование НЦФ. Методы расчёта НЦ. Коэффициенты импульсной характеристики фильтра

ПРОЕКТИРОВАНИЕ НЦФ

Проектирование НЦФ сводится к синтезу его системной функции H(z), при которой АЧХ H(w) фильтра удовлетворяет поставленным в исходных данных требованиям. 

Почти во всех приложениях используются НЦФ с точно линейной

ФЧХ. Существуют четыре вида НЦФ с линейной ФЧХ, отличающиеся харакN−1

тером системной функции H(z) = ∑ a_k z^−k :1) N - нечётное, а_k = а_{N -k -1}

k=0

(симметричные коэффициенты); 2) N - чётное, а_k = а_{N -k -1} (симметричные коэффициенты); 3) N - нечётное, а_k = - а_{N - k -1} (антисимметричные коэффициенты); 4) N - чётное, а_k = - а_{N - k -1} (антисимметричные коэффициенты). В данной работе рассматриваются НЦФ первого вида.

Методы расчёта НЦФ тесно связаны с принятым критерием аппроксимации. В зависимости от использованного критерия их можно разбить на три группы. Первая группа соответствует среднеквадратическому критерию, вторая - наилучшему равномерному (чебышевскому) критерию и третья - иным редко используемым критериям аппроксимации. Первая группа включает методы разложения в ряд Фурье и наименьших квадратов (методы частотной выборки), вторая - алгоритм Ремеза и некоторые другие сравнительно редко используемые алгоритмы.

Метод разложения в ряд Фурье проще других методов (особенно при N > 5000…10000), поскольку для его реализации требуется наименьший объём вычислений. Это единственный метод, позволяющий получить аналитические выражения (формулы) для коэффициентов фильтра, что очень удобно при теоретических исследованиях его характеристик. Основной недостаток этого метода заключается в том, что получаемая в результате расчёта точность аппроксимации АЧХ не является наилучшей с точки зрения минимальной среднеквадратической ошибки в одном и более частотных диапазонах по сравнению с двумя другими методами.

Метод коэффициентов Фурье предполагает переход непосредственно от идеальной амплитудно-частотной функции H(w) (рис. 8, а), периодической и симметричной относительно  w = 0,  к разложению по тригонометрическим функциям (в ряд Фурье) [4, c. 228]. От коэффициентов ряда Фурье легко можно перейти к фактическим коэффициентам функции H(z). 

j2πw

Итак, комплексный ряд Фурье H(e ) периодической функции H(w) при нечётном N и симметричных коэффициентах а_k = а_{N - k -1}

H ,                                        (13) k=−∞   k=−∞

где коэффициенты ряда Фурье c_k (рис. 8, б) определяются по формуле 

                                                                  0,5              jk2πw            wп                                                     2

                                               с_k = 2−0∫,5H(w)e dw= 4 0∫H(w) cos(k2πw)dw=_πk sin2w_пπk,    (14) а соответствующий ряд Фурье

∞ 2sin2w^пπk

                                                   H(e ^j2πw) = 2^w_п ⁺_∑           cosk2πw.                                             (15)

k=1 πk

j2πw

                                                 Поскольку z = e       , выполнив замену переменных, получим

H .                                                    (16)

                                                                          k=−∞             k=−∞

Из (16) следует, что коэффициенты c_k совпадают с отсчётами g(k) импульсной характеристики НЦФ. Однако прямое использование формул приводит к физически нереализуемым фильтрам, т. к. порядок фильтра N оказывается бесконечным и суммирование начинается от отсчёта k = - ∞. 

На практике нужны конечные фильтры, поэтому мы вынуждены отбрасывать все коэффициенты c_k с индексами после некоторого значения ±L =  ± (N - 1)/2 (рис. 8, г). Из теории рядов известно, что с увеличением числа членов ряда N аппроксимируемая функция представляется точнее.

Однако простое усечение ряда Фурье приводит к явлению Гиббса, которое проявляется в виде выбросов (до 9%) в зоне пропускания сигнала и пульсаций АЧХ (рис. 8, в). Максимальная амплитуда пульсаций АЧХ не уменьшается с увеличением N, а уменьшается лишь ширина выброса.