Решение дифференциальных уравнений в mathcad. Стандартная форма дифференциальных уравнений

                    Решение дифференциальных уравнений в mathcad

Стандартная форма дифференциальных уравнений   

Уравнения высших порядков сводятся к уравнению первого порядка.  Например:

,   где  

Вводятся новые функции:

,   

Получается система уравнений в стандартной форме:

Тогда вектор производных

          Решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Для решения обыкновенных дифференциальных уравнений в mathcad используется функция odesolve в блоке given.

Пример.

Аналитического решения на экран не выводится. Решение выдаётся в виде вектора значений функции. Полученная в виде таблицы значений функция поддаётся дифференцированию. Функция-производная также получается в виде вектора значений. Знак производной  y' вводится одновременным нажатием  клавиш <ctrl>, <F7>.

Формат вызова функции:

odesolve (x, xk, n)

x – переменная, по которой ведётся диффеенцирование;

xk – верхняя граница интервала, на котором ищется решение;

n – необязательный параметр – количество точек, на которое разбивается интеграл для численного поиска решения; если не задан, то подбирается;

Нижняя граница интервала, на котором ищется решение, берётся из начальных условий.

С помощью функции odesolve решаются уравнения высших порядков. Тогда в начальные условия добавляются значения всех n-1 производных в начальной точке, если уравнение n-го порядка.

Функция odesolve позволяет решать двухточечные краевые задачи (дифференциальные уравнения с заданными значениями в нижней и верхней границах отрезка). Тогда начальные условия …

          Решение систем дифференциальных уравнений

Система должна быть записана в форме Коши:

 – начальные условия (значения искомых функций в точке x0);

  – вектор первых производных искомых функций;

Функции mathcad для решения систем дифференциальных уравнений:

1) rkfixed (y, x0, xk, n, F) – возвращает матрицу значений функции.

y – вектор начальных условий;

x0 – нижняя граница интервала, на котором ищется решение;

xk – верхняя граница интервала, на котором ищется решение;

n – количество точек на интервале;

F – вектор первых производных искомых функций;

Используется метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом.

2) Rkadapt (y, x0, xk, n, F) – возвращает матрицу значений функции.

Параметры такие же, как и в предыдущей функции. Отличие от предыдущей функции: в rkadapt шаг изменяется автоматически, поэтому эта функция работает медленнее, в rkfixed шаг фиксированный. Если функция изменяется медленно, то выгоднее пользоваться функцией rkadapt, так как это ведёт к уменьшению числа шагов. Используется адаптируемый метод Рунге-Кутта.

3) rkadapt (y, x0, xk, acc, F, k, S) – возвращает матрицу значений функции. Используется адаптируемый метод Рунге-Кутта. Количество шагов определяется точностью.

y – вектор начальных условий;

x0 – нижняя граница интервала, на котором ищется решение;

xk – верхняя граница интервала, на котором ищется решение;

acc – точность, чем меньше тем медленнее работает функция;

F – вектор первых производных искомых функций;

k – максимальное число точек на интервале;

S – минимальная разница между  значениями функции в соседних точках;

4) bulstoer (y, x0, xk, acc, F, k, S) – возвращает матрицу значений решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Параметры такие же, как и в предыдущей функции. Используется, если предполагается, что искомая функция и её производная гладкие и непрерывные на заданном интервале.  Матрица значений  решений рассчитывается по методу Булирша-Штера.

Примеры вызова данных функций для системы уравнений, данной выше:

rkadapt (y, 0, 5, 0.001, F, 0.0001)

bulstoer (y, 0, 5, 0.001, F, 0.0001)

5) Stiffb (y, x0, xk, n, F, J) – возвращает матрицу  решений жёсткого дифференциального уравнения. Для расчёта используется метод Булиша-Штера

6) stiffb(y, x0, xk, acc, n,  F, J) – возвращает матрицу решений в конечной точке жёсткого дифференциального уравнения. Для расчёта используется метод Булиша-Штера с переменным шагом;

7) Stiffr (y, x0, xk, n, F, J) – возвращает матрицу  решений жёсткого дифференциального уравнения.  Используется метод Розенброка;

8) stiffr(y, x0, xk, acc, F, J, k, S) – возвращает матрицу решений в конечной точке жёсткого дифференциального уравнения. Используется метод Розенброка с переменным шагом;

где все параметры, кроме J, те же, что и в предыдущих формулах.

J – матрица Якоби (якобиан), имеет следующий вид:

Размерность этой матрицы    n(n+1).