Термодинамика идеального газа. Свойства и процессы. Уравнение состояния Менделеева-Клапейрона

ГЛАВА 3 ТЕРМОДИНАМИКА ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА. 

СВОЙСТВА И ПРОЦЕССЫ

3.1 Уравнение состояния Менделеева-Клапейрона

Введение понятия об идеальном газе позволило составить простые математические зависимости между величинами, характеризующими состояние тела, и на основе законов для идеальных газов создать стройную теорию термодинамических процессов.

Из молекулярно-кинетической теории газов следует, что абсолютное давление:

2  n mw²

р=,                                                    (3.1)

3  v 2

где ⁿ − число молекул в удельном объёме; 

w − средняя квадратичная скорость поступательного движения молекул; v − удельный объём; m − масса молекулы ; mw²

− средняя кинетическая энергия молекулы. 2

Кроме того, из молекулярно-кинетической теории 

mw²

=BT ,                                                  (3.2)

2

гдеB − коэффициент пропорциональности.  Тогда

pv = ^2nBT _.                                                     (3.3)

3

Для двух состояний: р₁V₁ = и р₂V₂ =.

Почленное деление этих уравнений приводит к соотношению: 

(p₁v₁)/T₁ = (p₂v₂)/T₂.                                           (3.4)

Выражение (3.4) показывает, что произведение удельного объёма идеального газа на давление, делённое на абсолютную температуру для любого равновесного состояния есть величина постоянная – (pv)/T = const.

Постоянную величину обозначают R и называют удельной газовой постоянной.

(pv)/T = R или pv = RT .                                          (3.5)

R зависит от природы газа и не зависит от его состояния.

Физический смысл удельной газовой постоянной:R [Дж/(кг·К)] − есть работа газа в процессе при ^p =const и при изменении температуры на один градус.

Итальянский учёный Авогадро в 1811 году доказал, что при одинаковых температурах и давлениях в равных объёмах различных идеальных газов содержится одинаковое количество молекул. Отсюда вытекает, что 

 v₁M₁ =v₂M₂,                                               (3.6) где M₁ и M₂ – молекулярные массы газов.

Молярная масса М [кг/кмоль] − это отношение массы m системы к количеству газа (вещества) v этой системы.

Произведение М ⋅v = v представляет собой объём одного моля газа, который при нормальных физических условиях равен 22,4 м³. Уравнение состояния для 1 моль газа:

pv = MRT ,                                               (3.7) где MR=Rμ = 8,314 Дж/(моль·К) − универсальная (молярная) газовая постоянная. Тогда

pv=RμT .                                                 (3.8)

Уравнение (3.8) называется уравнением Менделеева-Клапейрона.

3.2 Теплоёмкость идеального газа С_р, С_v.

Теплоемкость – это свойство тел поглощать и выделять теплоту при изменении температуры на один градус в различных термодинамических процессах. Различают среднюю и истинную теплоемкости.

Средняя теплоемкость – это отношение количества теплоты, полученной телом в термодинамическом процессе к разности температур в этом процессе:

C = Q₁−₂ (t₂ −t₁), [Дж/К].                                         (3.9)

Истинная теплоемкость – это теплоемкость тела при бесконечном малом процессе:

С = dQ/dt, [Дж/К].                                          (3.10)

Рассмотрим произвольный термодинамический процесс 1-2 в координатах Q = f ( )t изображенный на рисунке 3.1, где Q – подведенная

Если термодинамическая система – однородное рабочее тело, то в расчетах применяются относительные теплоемкости:

-  удельная массовая теплоемкость – теплоемкость, отнесенная к 1  кг вещества с = С/m, Дж/(кг·К);

-  молярная теплоемкость – теплоемкость, отнесенная с 1 молю вещества C^ˆ = C /n, Дж/(моль·К);

-  объемная теплоемкость – теплоемкость, отнесенная к 1 м³ вещества С′ = С /V , Дж/(м³·К).

Теплоемкость – функция процесса и зависит от рода рабочего тела, характера процесса и параметров состояния. Так, теплоемкость в процессе с постоянным давлением называется изобарной теплоемкостью:

С_p = ^_ ∂^{Q }_ = ^_ ∂^{H }_ .                                             (3.11)

 ∂T _p  ∂T _p

Теплоемкость в процессе с постоянным объемом называется изохорной теплоемкостью:

С_V = ^_ ∂^Q_ = ^_ ∂^{U }_ .                                            (3.12)

 ∂T _V  ∂T _V

Теплоемкость идеального газа не зависит от температуры и давления и зависит только от числа степеней свободы движения молекул и в соответствии с законом о равном распределении энергии по степеням свободы движения молекул теплоемкость:

Сˆ_V = ³+δ^Bp Rμ,                                             (3.13)

2

где δ^Bp - вращательные степени свободы, равные для одноатомного газа нулю (δ^Bp = 0), для двухатомного газа - δ^Bp=2 и для трехатомных газов δ^Bp=3.

Теплоемкость реальных газов зависит от давления и температуры. В ряде случаев можно пренебречь влиянием давления на теплоемкость и принять, что теплоемкость реальных газов зависит только от температуры: C=f(t). Эта зависимость определяется экспериментально.

Для идеальных газов связь между изобарной и изохорной теплоёмкостями ^c_p и ^c_v устанавливается известным уравнением Майера:

  c_p −c_v =R.                                            (3.13)

Из уравнения Майера следует, что изобарная теплоемкость больше изохорной на значение удельной характеристической постоянной идеального газа. Это объясняется тем, что в изохорном процессе (v = const ) внешняя работа не выполняется и теплота расходуется только на изменение внутренней энергии рабочего тела, тогда как в изобарном процессе ( p = const ) теплота расходуется не только на изменение внутренней энергии рабочего тела, зависящей от его температуры, но и на совершение им внешней работы.

Для реальных газов c_p −c_v > R, так как при их расширении и p = const