Числовые множества, счетность множества рациональных чисел. Доказательство существования иррациональных чисел

ЧИСЛОВЫЕ МНОЖЕСТВА, СЧЕТНОСТЬ МНОЖЕСТВА РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ,

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Среди числовых множеств выделяют:

 — множество натуральных чисел 1, 2, 3, …

 — множество целых чисел … –2, –1, 0, 1, 2, …

 — множество рациональных чисел — множество дробей вида , где , .

Ir — множество иррациональных чисел.

— множество вещественных чисел.

— множество комплексных чисел.

Любое рациональное число представляется в виде бесконечной десятичной периодической дроби и наоборот, любая из таких дробей — рациональное число.

Примеры (делим «в столбик»):

Примечание. Период правильной дроби не будет длиннее n, и при реализации алгоритма деления «в столбик» начнется не позже, чем через nшагов деления. Поясним это утверждение: при делении числителя на знаменатель дроби n может получиться не больше чем n различных остатков, поэтому не позже чем через n делений остатки начнут повторяться, причем повторяться циклически. Это и даст период дроби.

Пример обратного преобразования.Переведем в обычную дробь бесконечную десятичную периодическую дробь 0,(3)=0,333…

x = 0,333…

10х = 3,333…

9х = 3

.

Теорема. Множество рациональных чисел счетно.

Доказательство. Представим множество всех рациональных чисел в виде бесконечной таблицы.

Укажем, как строятся строки этой таблицы.

Первая строка: все целые числа, расположенные по возрастанию их модуля и так, что знаки «+» и «–» чередуются.

Вторая строка: все несократимые дроби со знаменателем 2, расположенные по возрастанию их модуля и так, что знаки «+» и «–» чередуются.

Третья строка: все несократимые дроби со знаменателем 3, расположенные по возрастанию их модуля и так, что знаки «+» и «–» чередуются.

Вообще, n-я строка это все несократимые дроби со знаменателем n, расположенные по возрастанию их модуля и так, что знаки «+» и «–» чередуются.

Очевидно, что в этой таблице находятся все рациональные числа. Используя прием диагонализации представим  в виде:

.

Так как  представилось в форме последовательности, то есть его элементы можно занумеровать устанавливается биекция между рациональными и натуральными числами. Это и означает, что  — счетное множество.

Иррациональные числа

Иррациональные числа — те, которые не могут быть записаны в виде отношения целого к натуральному; не представляются в виде бесконечной периодической десятичной дроби.

Вопрос о существовании иррациональных чисел требует доказательства. В истории математики, например, число π долгое время считалось частным двух натуральных чисел.

Теорема. Иррациональные числа существуют.

Доказательство. (Метод от противного). Пусть , где  — несократимая дробь.

Тогда , откуда p² = 2q². Это значит, что квадрат числа p — четное число, тогда само p тоже четное число.

Если это так, то можно положить p = 2m, тогда равенство p² = 2q² можно представить в виде (2m)² = 2q² или 4m² = 2q², 2m² = q². Это означает, что q делится на 2, значит, q — четное число, тогда можно положить q = 2r.

Тем самым получено, что p = 2m , а q = 2r , но тогда  — сократимая дробь. Противоречие.

Итак, есть числа не представимые в виде отношения целого к натуральному.

Поскольку иррациональные числа существуют, но не записываются в виде периодической десятичной дроби, они записываются в виде бесконечной десятичной непериодической дроби.

Все бесконечные дроби (периодические и непериодические вместе) образуют множество вещественных (или действительных) чисел:

Заметим, что справедливо вложение:

См. также приложение Ozes-World Home Page.