Оптика и электромагнитные волны. Электромагнитная природа света. Уравнение Эйконала. Дифференциальное уравнение световых лучей. Изгибание луча

Страницы работы

10 страниц (Word-файл)

Фрагмент текста работы

Впервые экспериментально доказал существование электромагнитных волн Г. Герц, что послужило решающим толчком в признании электромагнитной природы света.

Следующим решающим шагом в понимании природы света явилось введение в начале 20 века Максом

Планком квантования энергии излучающих осцилляторов, после чего Эйнштейн применил планковскую идею квантования непосредственно к самому излучению. Впоследствии эти порции излучения стали называться фотонами.

3

Таким образом, современнаяфизика, говоря о «свете», стала подразумевать широкуюсовокупностьединыхпосвоейприродеявлений, сводящихсякраспространениюкороткихэлектромагнитныхволн, проявляющихкакволновые, такикорпускулярныесвойства.

4

2. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ПРИРОДА СВЕТА. УРАВНЕНИЕ ЭЙКОНАЛА

Электромагнитные колебания, соответствующие видимой области спектра, происходят с частотами порядка ν = (4.7 ÷ 7.9) 1014 Гц, что соответствует длинам волн в диапазоне λ=(380÷780) нм. Поэтому при решении волнового уравнения для электромагнитных волн в первом приближении можно положитьλ<< l , где l – характерный размер оптических элементов. 

В этом случае можно получить уравнение эйконала, которое позволяет строго обосновать физическую природу световых лучей, как разновидности электромагнитного излучения, и определить с одной стороны ограничения, связанные с приближением геометрической оптики (λ→0), а с другой стороны, обосновать принципы волновой оптики, учитывающие конечность длины волны.

Для любой компоненты электромагнитного поля в непоглощающей среде выполняется волновое уравнение:

     ∆Ψ -  (1 υ2)∂2Ψt2 = 0,                    (1) r  r

где под Ψ подразумеваются векторы Eили H , υ - скорость распространения электромагнитной волны в среде,  - оператор Лапласа. 

r Для монохроматических волн Ψ(r,t) можно представить в виде: 

5

                                          r              r

                Ψ(r,t)=ψ(r)exp(−ωt).                   (2)

Подставляя (2) в (1), получаем уравнениеr для зависящей только от координаты амплитуды ψ(r):

ω2

∆ψ+  2ψ= 0, υ

∆ψ+ n2k02ψ= 0 ,                            (3)

где k0 c - волновое число для вакуума, n - показатель преломления среды.

Далее, чисто формально, проведём двойное дифференцирование по ∂x функции lnψ(x), и получим тождество (формулулогарифмическогодифференцирования, которая необходима для преобразования волнового уравнения к удобному для наших целей виду):

                  ψ∂2x2 =∂x22 (lnψ)+       (lnψ)2 .                  (4) ∂x

Аналогичные   выражения     получаются     для производных по y и z

Применяя тождество (4) уравнение (3) можно преобразовать к виду:

6

     ∆(lnψ)+ [grad(lnψ)]2 + n2k02 = 0.            (5)

По аналогии с решением волнового уравнения в виде плоской волны, распространяющейся в среде с r

показателем преломления n , представим ψ(r) в виде:

( )rr eik0ϕ( )rr                           (6)                                   ψ= A

r

где ϕ(r)           - скалярная вещественная функция от координат, называемая эйконалом, а амплитуда Aзависит от положения рассматриваемой точки. 

Поставляя выражение (6) в уравнение (5) и деля на k02, получаем: 

     ∆ln A   [grad(ln A)]2     i(∆ϕ+2grad(ln A)gradϕ)

           2       +           2               +

       k0                         k0                                                    k0                                              (7)

[gradϕ]2 +n2 = 0

Первое и второе слагаемые имеют порядок величины

          ∆ln A+[grad(ln A)]2                    1 ∂2A 2A 2A

k

,

λ2

A ~ 2 k0 A       l

где l - характерная длина, на которой амплитуда A

7

волны изменяется существенно. Величина l определяется размерами оптических элементов: линз, диафрагм и т.д. Для оптического диапазона длин волн l >>λ . Тогда первым слагаемым в уравнении (7) можно пренебречь. 

Приравнивая нулю действительную и мнимую части уравнения (7), получаём для действительной части

[grad ϕ(rr)]2 = n2, или 

                                                               r        r

grad ϕ(r)= ns ,                           (8)

r

где s - единичный векторr , направленный перпендикулярно к поверхности ϕ(r)= const .

r

Функция ϕ(r) называется функциейэйконала, а выражение (8) - уравнениемэйконала. 

8

3. ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

Раздел оптики, в котором пренебрегают конечным значением длин волн, носит названиегеометрическойоптики. 

То есть геометрическаяоптикаявляетсяприближённымпредельнымслучаем, вкоторыйпереходитволноваяоптика, когдадлинаволнысветаλ→0. 

Геометрическая оптика использует представление о световых лучах - линиях, вдоль которых происходит распространение энергии световых колебаний. Пучки света рассматриваются как совокупности бесконечного числа независимых лучей, удовлетворяющих законам прямолинейного распространения в однородной среде, зеркального отражения и преломления на границе раздела двух сред. 

              Многие        простые        оптические         явления

(возникновение теней, образование изображений в оптических приборах) можно объяснить на основе законов геометрической (лучевой) оптики.

Уравнение       эйконала         является          основным уравнением геометрической оптики, а его вывод определяет ограничения по его использованию. 

Первым ограничением (условием) применимости законов геометрической оптики является малость изменения            амплитуды      волны             и её первых

9

пространственных производных на протяжении длины волны (связано с тем, что при выводе уравнения эйконала предполагалось, что первые два слагаемые малы по сравнению с остальными). То есть законы геометрической оптики не применимы для областей, в которых велики пространственные производные амплитуды волны, например, для фокальной плоскости линзы, где поле концентрируется в точке, и его производная бесконечна велика. 

Второе ограничение связано с тем, что в волновом уравнении (1) полагается n = const, то есть ε= const,µ= const . То есть законы геометрической оптики не применимы для областей с резкими изменениями характеристик среды, например, края линзы или экрана, где нельзя не учитывать дифракционные явления.

 r

Поверхность,   для      которой           ϕ(r)= const , называется геометрической волновой поверхностью или геометрическим волновым фронтом.

 

Рис.1

r

Вектор s показывает направление распространения светового луча в каждой точке волнового фронта (рис. 1). 

Лучомназываютлинию, касательнаяккаждойrточкекоторойсовпадает

Похожие материалы

Информация о работе

Предмет:
Физика
Тип:
Конспекты лекций
Размер файла:
237 Kb
Скачали:
0